应用FPM方法模拟封闭方腔自然对流

雷娟棉， 彭雪莹， 黄灿， 杨浩

(北京理工大学 宇航学院， 北京 100081)



应用FPM方法模拟封闭方腔自然对流

雷娟棉， 彭雪莹， 黄灿， 杨浩

(北京理工大学 宇航学院， 北京 100081)

为验证有限粒子方法(FPM)能否很好地模拟自然对流问题，采用FPM方法对封闭方腔自然对流问题进行了数值模拟. 对FPM方法进行详细描述，并利用FPM方法对拉格朗日型的N-S方程进行离散，基于离散后的方程对瑞利数Ra分别为104，105，106的封闭方腔自然对流问题进行数值模拟，给出了不同瑞利数条件下的速度和温度云图以及中心线上量纲一的速度和温度分布曲线. 结果表明，FPM方法能够获得较准确的温度分布规律，当瑞利数较低时也能获得较准确的速度分布规律，但随着瑞利数的增大，速度场的模拟结果精度和稳定性变差，因此为了获得更准确和光滑的速度分布场，需要对FPM方法做进一步的改进.

光滑粒子流体动力学方法；自然对流；有限粒子法

封闭方腔自然对流问题[1]是一个经典的对流换热问题，在建筑物隔热、微电子设备的冷却以及热传导现象的研究等方面具有广泛的应用背景. 因此，研究封闭方腔自然对流问题具有非常重要的意义.

光滑粒子流体动力学(SPH)[2]是一种无网格方法[3]，在流体和固体领域方面均有广泛应用[4-5]. 但传统SPH方法具有计算精度低、边界区域计算不足、数值不稳定等缺点[6]. 刘谋斌等[7]提出了FPM方法，FPM方法能确保粒子近似方案的一阶连续性，是解决传统SPH精度不高和数值不稳定的有效方法[8]. 为验证FPM方法能否很好模拟自然对流问题，基于FPM方法对Ra为104，105，106条件下的封闭方腔自然对流进行数值模拟，给出不同瑞利数条件下的速度和温度分布图，以及稳定状态下中心线上量纲一的速度和温度分布曲线，并将FPM方法的模拟结果与FVM方法的数值结果进行分析比较.

1 FPM方法

若用ri表示任意粒子i的坐标，fα(ri)的FPM离散格式可表示为[8-9]

(1)

式中:fα(ri)为粒子i的函数及其导数，当α=0时表示函数本身，当α=x、y时分别表示函数在x、y方向上的导数；N为粒子i支持域内的相互作用粒子j的个数；f(rj)为粒子j的函数；Wβ(|rij|，h)为核函数及其导数，采用应用较为广泛的三次样条核函数[2]，当β=0时表示核函数本身，当β=x、y时分别表示核函数在x、y方向上的导数；|rij|为粒子i、j之间的距离；h为光滑长度；mj和ρj分别为粒子j的质量和密度；aαβ为修正矩阵A的分量. 在二维空间下修正矩阵A的具体表达式为

(2)

2 拉格朗日型N-S方程的FPM离散格式和状态方程

假定动力黏度μ为常数，拉格朗日空间下封闭方腔自然对流的N-S方程为

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：ρ为密度；t为时间；u，v分别为x和y方向上的速度；p为压力；g为重力加速度；β为热膨胀系数；T为温度；T0为特征温度，本文中T0=(TH+TC)/2，TH为高温，TC为低温；热扩散系数α=λ/(cVρ)；λ为热传导系数；cV为比定容热容.

利用FPM方法对上述方程进行离散，即可得到N-S方程的FPM离散格式为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：axβ，ayβ分别为修正矩阵A的第2，3行系数，β=0，x，y；uj，x，uj，y分别为j粒子的速度u在x、y方向的导数；vj，x，vj，y分别为j粒子的速度v在x、y方向的导数；Tj，x，Tj，y分别为j粒子的温度T在x、y方向的导数；M为粒子j的支持域内相互作用粒子k的个数.

上述N-S方程是不封闭的，通常需要增加一个求解压强的方程使其封闭. 在SPH方法中，通常引入一个合适的准可压缩状态方程来模拟不可压缩流体[2]，本文采用下述人工状态方程求解压强为

(14)

式中：c为人工声速；ρ0为初始密度.

3 封闭方腔自然对流的数值模拟

3.1 物理模型及初始条件

图1为封闭方腔自然对流模型，计算域为边长为L的正方形，上下壁面为绝热边界，左右壁面为恒温边界，其中左壁面温度恒为高温TH，右壁面温度恒为低温TC. 由于左右壁面的温度差，驱使方腔内的流体运动，基于布辛涅斯克假设可知y方向上由于密度变化产生的浮升力为gβ(T-T0)[1].

方腔内粒子分布如图2所示，图中实心圆点代表实粒子即流体粒子，空心圆点代表虚粒子. 粒子在x，y方向上均匀分布，粒子间距记为Δ，在边界上和边界外各分布一层间距为Δ的虚粒子.

初始条件设置：密度ρ=1.225 kg/m3，黏度μ=1.789×10-5kg/(m·s)，热扩散系数α=2.748×10-5m2/s，TH=283 K，TC=273 K，c取为流场中最大速度的10倍. 通过改变β和L来改变Ra的大小，其中Ra=gβΔTL3ρ/(μα). 当Ra分别为104，105，106时，采用的流体粒子总数分别为10 000，14 400，19 600，光滑长度h取为粒子间距的1.3倍，即时间步长为10-4s. 为避免粒子运动剧烈引起计算域内粒子聚集和空穴现象的产生，将粒子位移技术[9]应用于计算过程中.

Fig.2 Particle distribution of natural convection in a closed square cavity

3.2 数值模拟结果及其分析

图3给出了Ra=104条件下t=5 s时基于FPM方法模拟得到的封闭方腔自然对流的水平速度u分布云图、垂直速度v分布云图和温度T分布云图，图4给出了相应的FVM方法数值模拟结果. 对比图3和图4可以看出，FPM方法得到的速度云图和温度云图均与FVM方法的结果吻合较好，说明当Ra=104时FPM方法能够获得较准确的速度和温度分布规律.

图5给出了在Ra=105条件下t=20 s时基于FPM方法得到的封闭方腔自然对流水平速度u分布云图、垂直速度v分布云图和温度T分布云图，图6为相应的FVM方法数值模拟结果. 对比图5(a)，5(b)与图6(a)，6(b)，可以看出FPM方法模拟得到的速度分布与FVM方法的模拟结果有略微的区别；而采用FPM方法得到的温度分布与采用FVM方法得到的结果基本吻合，如图5(c)和图6(c)所示. 表明当Ra=105时FPM方法对封闭方腔内速度场的计算精度有所降低，但是仍能得到较准确的温度分布规律.

图7所示为Ra=106，t=30 s时基于FPM方法模拟得到的封闭方腔自然对流水平速度u分布云图、垂直速度v分布云图和温度T分布云图，图8给出了相应的FVM方法数值模拟结果. 对比图7(a)，7(b)与图8(a)，8(b)可以看出，采用FPM方法与FVM方法模拟得到的封闭方腔内速度分布规律趋势一致，但是FPM方法得到的速度分布与FVM方法得到的结果有了较大的区别，而且FPM方法得到的速度分布有明显的震荡现象. 从图7(c)和图8(c)中可以看出，在Ra=106条件下采用FPM方法模拟得到的温度分布仍然十分光滑，并且与FVM方法的模拟得到的规律基本一致. 结果表明，随着Ra数的增大，FPM方法虽然仍能得到较准确的温度分布规律，但是在捕捉速度场的规律时，FPM方法的精度和稳定性明显降低.

3.3 不同瑞利数下中线上的速度和温度分布曲线

为进一步验证FPM方法数值模拟自热对流的精度，本节给出了中心线上量纲一的速度和温度分布曲线，并与FVM方法得到的结果进行了比较. 图9(a)给出了不同瑞利数条件下分别采用FPM方法以及FVM方法得到的稳定时刻垂直中心线(x=L/2)上量纲一水平速度u*的分布曲线(图中，u*=uL/α，y*=y/L). 图9(b)给出了不同瑞利数条件下FPM方法以及FVM方法得到的稳定时刻水平中心线(y=L/2)上量纲一的垂直速度v*的分布曲线(图中，v*=vL/α，x*=x/L).

从图9中可以看出，当瑞利数较低时，FPM方法与FVM方法所得速度分布吻合较好，当Ra高达106时，FPM方法得到速度值比FVM方法的结果偏小.

图10为FPM方法在不同瑞利数条件下得到的稳定时刻水平中线(y=L/2)上量纲一的温度T*的分布曲线，并与FVM方法所得结果进行比较(图中，T*=(T-TC)/(TH-TC)，x*=x/L). 从图10可以看出，FPM方法所得结果与FVM方法吻合很好，说明FPM方法在模拟封闭方腔自然对流时能够获得比较准确的温度分布.

4 结 论

本文详细地描述了FPM方法，并基于FPM方法对N-S方程进行离散，进而采用FPM方法对瑞利数Ra分别为104，105，106的封闭方腔自然对流问题进行数值模拟，结果表明：

① FPM方法能够实现瑞利数Ra高达106条件下的封闭方腔自然对流热传导问题的流场模拟；

② 基于FPM方法数值模拟封闭方腔自然对流，可以得到较准确的温度分布规律；

③ 基于FPM方法数值模拟封闭方腔自然对流，当瑞利数Ra较小时，FPM方法能够得到较准确的速度分布规律；但是随着瑞利数Ra的增大，模拟得到的速度分布云图有明显的震荡，且数值大小与FVM方法得到的结果有明显的偏差，因此需要进一步改善FPM方法的精度和稳定性.

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(责任编辑：刘雨)

Finite Particle Method (FPM) Modeling of Natural Convection in a Closed Square Cavity

LEI Juan-mian， PENG Xue-ying， HUANG Can， YANG Hao

(School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

In order to test the ability of FPM modelling natural convection problems, FPM was used to simulate natural convection in a closed square cavity. Firstly，FPM was depicted in detail, the Lagrangian N-S equations was discretized with FPM, and natural convection in a closed square was simulated atRa=104，105，106based on the discretized equations. And then, velocity and temperature contours, non-dimensional velocity and temperature profiles along the centerline at different Rayleigh numbers were presented. The results show that FPM can obtain temperature field accurately at all three Rayleigh numbers and obtain velocity field accurately at low Raleigh numbers, but with increasing Raleigh numbers, the precision and stability of the velocity field is decreasing, so FPM still needs to be improved for getting more accurate and stable velocity fields.

smoothed particle hydrodynamics; natural convection; finite particle method(FPM)

2015-04-13

雷娟棉(1968—)，女，教授，博士生导师，E-mail:leijm@bit.edu.cn.

彭雪莹(1993—)，女，硕士生，E-mail:pxy0220@sina.com.

O 35

A

1001-0645(2016)08-0771-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.08.001