多状态串并联系统结构与维修策略
2016-11-20印明昂孙志礼王健张禹
印明昂， 孙志礼， 王健， 张禹
东北大学 机械工程与自动化学院， 沈阳 110004
多状态串并联系统结构与维修策略
印明昂*， 孙志礼， 王健， 张禹
东北大学 机械工程与自动化学院， 沈阳 110004
为准确构建生产系统中系统结构与设备维修之间的关系，以串并联系统冗余分配问题(RAP)为基础，引入基于系统可靠性的机会维修策略与基于状态的检测间隔，建立了设备购置与维修费用最少为目标的系统结构与维修策略的联合模型，从而在保证系统生产效率和可用度的前提下，降低系统运行的总成本。利用半马尔可夫过程和通用生成函数(UGF)求解出系统在检测点上各状态的稳态概率、维修费用及可用度。通过算例表明，无论在系统设计之前还是在运行之后，将系统结构与维修策略综合考虑比分开考虑更具经济价值。
串并联系统； 基于状态的维修； 冗余分配问题； 通用生成函数； 马尔可夫过程
随着设备大型化、高性能化与自动化的水平的提高，设备停产的损失也随之增大。因此，产品的质量、产量及生产的总经济效益对设备的依赖性越来越大，所以对设备的可靠性要求也越来越高。行之有效的维修方案也是提高可靠性的重要手段之一[1-2]。在解决生产过程中设备组合优化问题时，技术人员在参考以往工程中典型设计案例的基础上，依据工程经验，估算出设备的型号与数量，来组织生产。在此过程中，设备的维修方案受到工程案例少和系统结构复杂的限制，只能定性地参与其中，因此，生产中设备配置需要解决的问题是，在一定生产能力的要求下，确定各工序中最佳的设备型号、数量以及相应的维修方案，使之既满足工厂生产效率的要求，又满足生产线运行成本最低的要求。因此，生产线配置是一个关于生产线中各工序设备配置和维修方案选择的组合优化问题[3-5]。
产品的生产线通常由若干道工序所组成，每道工序包含若干台设备，因此，生产线可看成由多台设备组成的串并联系统。已有学者对此进行了较为深入研究，其中主要相关研究有：文献[6-8]研究的系统模型为串并联系统，将设备简化为两状态设备，通过合理安排各子系统中设备型号、数量和更换周期，来使系统工作可用度达到使用要求。此类问题称为串并联系统的冗余分配问题 (Redundancy Allocation Problem, RAP)。文献[9-12]将系统设备扩展为多状态设备，这样可通过预防性维修策略的优化，降低因设备失效对系统造成的影响。随着无损检测手段的不断丰富，如油品分析、振动检测、红外线、超声探伤等检测技术的不断发展完善，系统状态检测也成为研究热点。文献[13-14]分别建立了串并联系统的维修优化模型，系统采用间隔检测方法，设备状态需要通过检测才能确定，并以此为依据选择系统维修方式。文献[9-14]虽然逐步建立了较完整的串并联系统维修方式的优化模型，但是系统中设备所采用的型号和数量却是事先确定的，因此，对于设备配置问题只能在设定好设备型号和数量之后才能定量地考虑设备维修问题。
1 问题描述
在典型的多状态串并联系统中N个子系统串联在一起。每个子系统有Mi(i=1, 2, …,N)个相同的设备并联在一起。对于子系统i，市场上有Vi个不同型号的设备可供选择。系统中的设备能力随时间退化，退化过程服从离散马尔可夫过程。子系统i中的第j个型号的设备从全新状态到故障状态一共有Sij(j=1, 2, …,Vi)个状态。该设备相邻单位时间内的状态转移概率矩阵为Pij∈RSij×Sij。Xijl(t)(后简记为Xijl)表示该子系统中第l个设备在t时段开始时刻的状态。在不维修的情况下，会在这个时段内保持这个状态，其中l=1, 2, …,Mi，t为非负整数。例如Xijl=1表示子系统i采用j型号设备，第l个设备在t时段是全新的；Xijl=Sij表示该设备在t时段处于故障状态。当Xijl=w时，设备的生产率为γij(w)，失效的设备生产效率为零，即γij(Sij)=0。子系统的生产效率是其组成设备生产效率之和，与设备的状态、型号和数量有关。设备的状态与设备的维修策略相关，型号和数量由系统结构所决定。系统的生产效率是各子系统生产效率的最小值。当系统在t时段的生产效率高于设定的效率阈值WR时，系统在t时段是可用的，否则系统失效。
系统采用基于状态的维修(Condition-based Maintenance)，包括检测间隔、预防性维修和故障维修均需要根据设备的状态决定，设备状态只能通过检测确定。当到达检测时间点时，子系统会对所有的设备进行检测，并得出设备的状态。根据子系统中设备的最差状态(Jij=max(Xij1,Xij2,…,XijMi))判断是否对该子系统进行维修。如子系统需要维修，可通过各个设备的状态来选择各自维修的类型，包括预防性维修和故障维修。各种维修均能使设备恢复如新，并且维修时间与工作时间相比可忽略不计。进而得出维修后各设备状态[Yij1Yij2…YijMi]，令Kij=max(Yij1,Yij2,…,YijMi)，并利用Kij判断该子系统下一次检测的间隔。如不需要维修，直接通过Jij来判断该子系统下次检测间隔。因此，引入了设备状态的相关性。设在一次停机中可以对该子系统中多个设备进行维修。例如对一个设备进行故障维修，对另一个设备进行预防性维修，只产生一次停机费用。因此，引入了经济分析的相关性。
2 系统分析
2.1 系统维修策略
维修策略是按照子系统中的设备状态来确定维修方式以及检测间隔的。当子系统运行到检测点时，会通过检测得出各设备的状态，并依据维修阈值LM,ij和机会维修阈值LOM,ij选择维修方式。当Jij≥LM,ij时，将对该子系统中所有状态超过LOM,ij的设备进行维修，其中，对故障的设备(Xijl=Sij)进行故障维修，对其余的设备进行预防性维修，对于状态未超过LOM,ij的设备不进行维修，维修后找出Kij；当Jij
(1)
式中：Sij≥LM,ij≥LOM,ij≥L1,ij≥L2,ij≥…≥LNIij,ij≥1。
由于Θij为降序向量，所以可以根据编号θij来调用Θij。例如当Sij=2、NIij=2时，θij和Θij的对应关系如表1所示。
表1 维修策略编号Table 1 Coding of maintenance policy
2.2 子系统在半再生点的稳态概率
从检测阈值的定义可以看出，并不是每一个时间段都需要检测，进一步可以得出，维修也不是每一个时间段都发生，因此，Xij(t+1)不仅与Xij(t)有关，还与t+1时段开始时刻子系统是否维修有关。而当前检测点的子系统状态只与上一检测结果有关，子系统的状态在状态检测点服从嵌入马尔可夫过程。因此，这一系列检测时间点SR可看成半再生点。
2.3 子系统维修费用
E(CCM,ij(θij))+E(CPM,ij(θij))]/
E(TSR,ij(θij))
(2)
式中：CST,ij、CCM,ij和CPM,ij分别表示设备的停机费用、故障维修费用和预防性维修费用。
E(CST,ij(θij))=
(3)
式中：SSij为子系统i状态的个数；I(·)为指示函数。
(4)
E(CCM,ij(θij))=
(5)
(6)
E(TSR,ij(θij))表示子系统i在维修策略θij下的检测间隔期望。检测间隔与子系统通过检测维修后的状态有关。
(7)
式中：Δij(w,θij)为在维修策略θij下Xij(t)=w时的检测间隔。其表达式为
(8)
(9)
2.4 系统可用度
利用通用生函数(Universal Generating Function，UGF)方法计算系统可用度，方法简要介绍如下。更多的系统性描述和数学方法参看文献[16-18]。
系统i中的设备l利用UGF描述为
(10)
式中：Aijk(θij)表示当子系统i采用θij维修策略时，设备状态为k的概率；wijk为其相对应的工作效率。
子系统i中所采用设备是相同的，因此，子系统的UGF描述为
(11)
式(11)利用多项式展开可得
(12)
式中：Wijv为子系统i的第v个工作效率，并且，Wij1<… Pijv(θij)= (13) (14) 式中：Ew,ij(θij)为检测间隔内子系统停留在状态w的时间期望，其计算公式为 (15) 式(15)的两个部分分别表示经过检测维修之后，在第1个单位时间和该检测间隔内其他时间子系统处于状态w的时间期望。 N个子系统串联在一起，利用UGF方法可以得到 (16) 式(16)也可以展开成为多项式形式，令NPRO表示系统的状态个数，则 (17) 式中：Wv为系统的第v个生产效率，并且W1 系统生产效率阈值为WR，则系统可用度A定义为 (18) 系统中变量包括系统结构与维修策略两大类。由于系统中子系统的个数N是确定的，所以，只需考虑子系统结构即可，而子系统中的结构变量为设备个数Mi和设备型号ji。维修策略在2.1节中已详述。整个系统的设计变量O为 O=[j1M1θij1j2M2θij2…JNMNθijN] (19) (20) 式中：TS为系统运行时间与单位时间的比值。该系统模型的要求是CS最小，与此同时在整个系统运行时间内系统可用度AS不低于可用度需求值A0。故约束条件为 AS≥A0 (21) 4.1.1 问题描述 算例中系统包含4个串联在一起的子系统，每个子系统均由若干个相同的设备并联而成，每个子系统的设备均有4种不同的型号可供选择，子系统1中设备的退化过程服从离散时间的马尔可夫过程，4个不同型号的状态转移概率矩阵分别为 为减小文章篇幅，其他子系统的状态转移概率矩阵和子系统1相同，各子系统在不同型号下的生产效率、购置费用和维修费用如表2所示，表2中费用的单位为万元。生产效率需求WR为3.8，系统需求可用度A0分别被设定为0.90、0.95 和0.99。系统运行时间为1年，每个单位时间为1个月，那么TS=12月。系统的最大检测间隔为3个月，那么子系统维修策略将包含维修阈值LM,ij，机会维修阈值LOM,ij和两个检测阈值Ld,ij(d=1,2)。 表2 子系统在不同型号下的生产效率以及购置与维修费用Table 2 Production efficiency, purchase cost and maintenance cost for different version equipments in each subsystem 4.1.2 结果分析 通过优化程序得到的优化结果如表3所示，优化方法可以采用遗传算法(GA)、粒子群算法(PSO)[19]、或多目标遗传算法(NSGA-II)[20]等算法。 对序号2进行详细解释，系统可用度要求A0为0.95，优化后的系统可用度AS为0.953 2，运行费用CS为15.12万元/年。此时，系统结构与维修策略为：系统子1采用4型号设备1个，维修策略为16([4 1 1 1])；子系统2采用2型号设备2个，维修策略为10([3 3 1 1])；子系统3采用1型号设备2个，维修策略为3([2 2 1 1])；子系统4采用4型号设备2个，维修策略为35([4 4 4 4])。 对于子系统2来说，如果检测得到X221=2、X222=4，根据维修策略10([3 3 1 1])，J22=4 >LM,22=3，故子系统需要维修。因为X221 表3 算例1的优化结果Table 3 Optimization results for computational example 1 算例2为算例1的对比算例。目前的研究方法多是从系统结构已确定的前提下研究系统的维修策略，从而割断了系统结构与维修策略的相关性。对比算例分别从生产线设计和使用两个阶段来展现这种相关性的优点。 4.2.1 设计阶段 根据以往的研究来看，设计生产线通常是根据类似的生产线结构来设计新的生产线，而维修策略优化通常是在系统结构确定后进行的[11,15]。 设计一生产线要求需求可用度A0=0.95，生产效率阈值WR=3.8。 不妨假设目前已知算例1中序号1(A0为0.90 时的最优结构)和序号3(A0=0.99时的最优结构)的系统结构作为算例2.1，结果如表4所示。序号1表示在其他条件不变的情况下，借用A0=0.90时系统最优化的结构，将A0从0.90变为0.95。从结果看，即使每个子系统均采用维修策略1这样的极端维修策略(每个月均对所有设备进行维修)，也未能将系统可用度提升到0.95。序号2就是算例1中的序号2结果，表示以A0=0.95为约束的前提下，同时设计系统结构和维修策略的结果。序号3表示借用算例1中A0=0.99 的系统最优结构，降低A0到0.95的维修策略优化结果。序号2与序号3相比，一年共节省1.77万元，其中，维修费用节省1.22万元。说明在相同可用度要求下，同时设计系统结构和维修策略要比在确定结构下设计维修策略更具经济价值。随着运行时间越长，维修费用也越来越多，因此，序号2的结构优势也会日益明显。 表4 算例2.1对比结果Table 4 Comparison results for computational example 2.1 4.2.2 使用阶段 系统运行后，系统所需要的生产能力可能会因市场的因素发生变化，假设产品需求分为旺、淡两季，如果不做出相应调整势必会对生产造成一定不良影响。对于确定的系统结构，只可调整系统维修策略来降低维修成本。在系统结构可变的情况，可根据旺季需求来设计系统结构与维修策略，而在淡季可通过改变设备运行数量和调整维修策略并举的方式降低维修成本。 设计一系统要求A0=0.99，生产效率阈值分别为WR1=3.8、WR2=1，旺、淡两季时间相等(算例2.2)。 因为算例2.2中旺季的设计条件与算例1序号3相同，所以此对比算例中3个对比项在旺季的系统结构和维修费用也就相同。因此只需要对比系统在淡季的维修费用。如表5所示。 表5 算例2.2对比结果Table 5 Comparison results for computational example 2.2 表5中序号1表示旺季系统运行的状态，系统的维修费用为11.01万元/年，如果系统不作任何改变的话，那么在淡季系统的维修费用会保持不变。在淡季，生产需求有所降低，如果只通过调整系统的维修策略来降低维修费用，结果如序号2所示，在淡季系统的维修费用降低到7.78万元/年，降低了29.34%。如果在优化系统维修策略的同时还可以改变系统中设备运行的数量，结果如序号3所示，子系统4中运行设备数从4个降低到2个，同时对维修策略进行调整，那么在淡季维修费用降低到了6.53万元/年，降低了40.69%。从淡季的两种运行方式中可以看出，设备运行数量与维修策略相结合的调整方式要比单一的维修策略调整方式更具有经济价值。 1) 在系统结构冗余设计理论的基础上，增加了设备状态变更条件，考虑了基于状态的检测和机会维修对于系统状态的影响，建立了结构与维修策略相关联的串并联系统运行费用计算模型。 2) 设计系统时，根据以往经验来设计系统结构，可能会导致系统资源浪费，甚至导致设计系统无法满足生产可用度的需求。 3) 投产后，如果生产需求发生改变，将维修策略考虑进来的系统结构优化方式更有利于节约维修成本。 提出的模型能够合理优化系统结构与维修策略，可保证系统可用度，降低维修费用，为生产部门制定合理的生产计划与维修方案提供决策依据。参考文献 [1] 徐立, 李庆民, 李华. 考虑多类维修优先权的多级维修供应系统库存控制[J]. 航空学报， 2015， 36(4)： 1185-1194. 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3 系统优化模型
3.1 设计变量
3.2 目标函数及约束条件
4 算例分析
4.1 算例1
4.2 算例2
5 结 论
