直线与圆位置关系的化归处理

2016-11-19黄天扬

理科考试研究·高中 2016年4期

关键词：弦长判别式圆心

黄天扬

由于圆的几何性质比较明显和突出，适时运用圆的几何性质来解决解析几何中的与圆的有关的题目，能使解题思路简捷、明快，并减少计算量，在求解直线与圆的位置关系中，这种解题理念尤其突出.下面介绍将直线与圆的位置关系化归处理的几个例子，供参考.

一、直线与圆相切

若直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2相切，则圆心（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2与圆半径相等，即d=r，这是解题的重要思路.

例1若直线2x-y+c=0按向量a=（1，-1）平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为

A. 8或-2B. 6或-4C. 4或-6D. 2或-8

分析将直线2x-y+c=0按向量a=（1，-1）平移得2（x+1）-（y-1）+c=0，即2x-y+3+c=0.又圆x2+y2=5的圆心为（0，0），半径为5，由直线与圆相切知d=|3+c|5=5，即|3+c|=5，所以c=2或-8，即选D.

点评直线与圆相切问题还可以将直线方程与圆的方程联立，利用判别式等于零来解决，但与此法比较，运算量要大得多.

二、直线与圆相离

若直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2相离，则圆心到直线的距离d>r，而在圆上找一点使该点到直线的距离最小，一般也是通过圆心到直线距离来解决.

例2在圆x2+y2=4上求一点P，使P与直线4x+3y-12=0的距离最小，求P点坐标及最小值.

解析由于点P是圆上动点，点到直线的距离是变动的，但圆的圆心是定的，圆心到直线的距离是不变的，故而可先求圆心到直线的距离，则d=|-12|32+42=125，所以圆上点P到直线 4x+3y-12=0距离的最小值为d-r=125-2=25.下面求P点坐标，由于过圆心且与直线4x+3y-12=0垂直的直线为y=34x，与圆的方程x2+y2=4联立，解方程组得x=

±85，y=±65，考虑到P为最小值点，故点P应在第一象限，故而P（85，65）为所求.

点评圆心是确定圆位置的重要元素，与圆上的动点有关问题都可以转化为与圆心及半径相关的问题.本解法中充分抓住了这一点，使解题轻松流畅，干净利落.

三、直线与圆相交

若直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2相交，则圆心（a，b）到直线的距离d

例3已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 （m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程.

解析（1）由直线l可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，由于m∈R，要使此等式成立，必有2x+y-7=0且x+y-4=0，解联立的方程组得x=3，y=1，即直线l无论m取什么实数，都恒过定点D（3，1）.又圆心C（1，2）且有|CD|=（3-1）2+（1-2）2=5<5=r，即点D在圆C内，故而直线l与圆恒有两个交点.

（2）由于点D在圆内，易知当过点D的弦与CD连线垂直时，所得的弦长最短，此时弦所在直线的斜率为k=-1kCD=2，所以此时直线l的方程为y-1=2（x-3），

即2x-y-5=0.由-2m+1m+1=2，得m=-34，

又弦长=252-|CD|2=220=45，

所以最短弦长为45，此时直线l为：2x-y-5=0，

取m=-34.

点评用几何法判断直线与圆是否相交，只需判定直线是否过圆内一点就行了，而用直线方程与圆的方程联立，看判别式是否大于零，则问题会变得非常复杂.与弦长有关的问题，由垂径定理，构造直角三角形来解决是简单易行的方法.

令y=0，由于y0≠1，可得N（-x0y0-1，0）.

联立y=12（x+2），

y=y0x0-2（x-2），

解得M（4y0+2x0-42y0-x0+2，4y02y0-x0+2），

因此MN的斜率为

m=4y02y0-x0+24y0+2x0-42y0-x0+2+x0y0-1=4y0（y0-1）4y20-8y0+4x0y0-x20+4