系统思维在初中数学教学中的个体解读

陈善信

[摘 要] 系统思维是重要的思维方式，初中数学教学中坚持系统思维，既符合初中学生的认知特点，也有助于有效教学关系的构建. 系统思维意味着教师的教学要关注一个周期（一学期、一学年甚至是三学年）的数学学习，意味着教师需建立明确的教学主线. 系统思维可以让学生在数学概念构建与问题解决中更好地利用先前经验，并形成学习思路. 系统思维在新课教学中宜隐性，在复习中宜显性.

[关键词] 系统思维；初中数学；数学教学；解读

数学教学专家、人民教育出版社中学数学室编审章建跃博士明确指出：“数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维. ”什么是数学思维？章建跃博士的理解是：“系统思维就是把认知对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法. ”笔者在教学中接受了“理解数学，理解学生，理解教学”的教学理念，同时从教学经验中梳理出一个认识，那就是初中数学教学一定要坚持系统思维. 因为只有坚持系统思维，才能将学生三年的数学学习看成一个整体，看成一个过程；也才能将学生在某一节课堂上的新知构建过程中具体构建数学知识的过程，当成一个学生心智成长、新旧知识相互作用和转换的过程；才能看得出数学知识在学生学习过程中的动态性与发展性. 也只有基于这样的思维，学生在学习过程中的特点与不足也才能寻找到更为清晰的解释，从而为师生有效的教与学寻找更好的生长点.

系统思维对初中数学教学的

意义简析

从学生的角度关注系统思维对初中数学教学的意义，是一个比较好的研究视角. 以生为本是当前的重要教育理念，其主要体现就是关注学生在课堂上构建知识时的具体心理过程. 调查与研究发现，初中学生已经有了关注知识系统性的意识，他们在构建数学知识的时候一个重要思考点，就是这些知识与之前知识有哪些联系，对后面知识的学习可能有什么作用；还有部分学生（主要是数学思维较强的学生）能够有意识地去发现不同数学知识学习过程中可能存在的共同的思维方式，比如在“分式”与“反比例”（人教版初中数学八年级下册第十六章与第十七章）的学习中，就有学生提出：为什么要将这两个知识设计成前后关系？还有学生提出：分式与反比例函数之间存在着形式上的相似性，存在着数学知识关系角度的隶属性. 在实际学习时如果注意到这两点，那学习反比例函数的时候可能就会轻松一些.

显然，这是学生比较初步的系统性思维的体现，反映了初中学生在数学学习时重视数学知识与数学方法之间的系统性. 相比较而言，部分初中数学教师却不太关注学生的系统思维，更加不注重数学教学中对学生系统性思维的培养. 而另一方面，在考试评价中面对学生不太理想的成绩时，又责怪学生不知道融会贯通，这种看似自相矛盾的现象在实际教学中应当说还是比较普遍的.

基于这样的分析，笔者以为，初中数学需要切实关注学生的系统思维，同时提高学生的系统思维能力. 要做到这一点，教师首先要有整体观、全局观，尤其是在教学设计的过程中，要有从一册书、两学期的教学甚至是整个初中数学教学的角度，去选择教学方法、重设教学内容等，这样才能真正达到从“教教材”向“用教材教”的目的. 笔者的教学实践也表明，这样的系统性教学思路，可以让整个初中数学教学成为一个有机的整体. 教师处于以三年数学教学为时间轴的任何一个时间段，都可以通过回顾与展望的方式准确判断即时的数学教学在整个数学教学的历程中处于什么样的地位. 而这样的教学思路对学生的学习来说，亦是一件十分有益的事情. 初步具有系统思维特征的初中学生，在数学知识的构建中可以更好地完善自身的系统思维.

系统思维在初中数学教学中

的有效实践

笔者在教学实践中，时刻注意以系统性思维引领自身的数学教学，并且取得了很好的效果，下面具体说明.

以“勾股定理”的教学为例，这是初中数学中的一个重要内容，同时部分学生又具有最基础的“勾三股四弦五”的认识，还有部分学生则是基于连续的三个自然数满足了前两个平方之和等于第三个数的平方的特点记住了直角三角形具有的边的关系的特征. 这些认识都是学生可贵的前经验，在实际教学中需要加以充分的运用. 与此同时，更需要关注的是勾股定理学习过程中的系统性思维的运用与培养. 结合教学参考书可以发现，本章知识遵循着从实际问题（直角三角形边长的计算），到勾股定理，再到勾股定理的逆定理，然后到实际问题（直角三角形的判定）的顺序，并伴以从勾股定理到实际问题的解决，以及勾股定理逆定理与直角三角形的判定的互逆过程. 这是一个最基本的系统思维的体现，提醒着教师的教学要沿着这样的系统性思路进行.

更具体地说，在勾股定理的教学中，要关注到这种特殊三角形的重要性质，并从性质角度认识到勾股定理是继“两锐角互补”“30度角对应边是斜边边长的一半”等性质之后的另一个重要性质，因此直角三角形的性质又可以成为勾股定理学习的另一个系统性思维的主线. 也就是说，以直角三角形的性质为思维主线，可以将此前学过的性质与即将要学的性质串联成一个大的知识串，从而形成一个知识体系，这样的体系构建对于学生来说也是系统性思维的一种体现.

实际教学中，笔者以复习直角三角形的性质为引入，强调性质作为主线是更全面地构建直角三角形认识的重要思维线索；然后以毕达哥拉斯偶尔发现勾股定理的数学史，直接切入对直角三角形（此时为等腰直角三角形）三边数量关系的研究. 需要指出的是，如教材一样将图1中的右图从左图中提取出来，原本也是系统思维的一种体现.

笔者在教学中发现，如果不将右图以阴影的方式凸显出来，那学生在观察左图时一般是不会有大数学家毕达哥拉斯那样的发现的. 这说明了在初中学生的思维中，一般还不会想到从面积的角度去求证直角三角形边的关系. 而在教学中，笔者进行了这样的处理：首先，呈现如图1中的左图，让学生从数学的角度去思考发现，这个时候直角三角形是最直观的结果；其后进一步提出问题：能否借助于该图发现直角三角形三边之间可能存在的关系？这个问题是系统思维中最关键的一个体现，其指向了三个因素：一是学生原有知识体系中关于直角三角形及其边的关系；二是新的关系即直角三角形三边关系的猜想；三是其中可能运用到的数学发现与逻辑思维方法. 这三者之间存在着互相影响、互相促进的关系，在教学中梳理出其中的关系，即可让学生在系统思维的基础上有效完成勾股定理知识的构建.

具体来说包括：（1）从知识体系的角度理清直角三角形三边关系与原有知识之间的联系. 这个可以借助于上面提及的“性质”这一思维主线来进行，学生回忆到的即有30°直角边与斜边的关系，也有普通三角形两边之和大于第三边的关系. 同时学生还可以借助图1中的左图去猜想三边之间可能存在的定理关系. 但学生此时一般是从简单的和差关系来思考的，难以直接想到平方关系. （2）从数学猜想的角度猜想直角三角形的三边关系. 数学猜想是此前数学学习过程中常常用到的方法，也是数学探究的重要环节，此处猜想的依据即为左图中的面积关系引导下的直角三角形三边关系的猜想. （3）从逻辑推理的角度，将从等腰直角三角形中得出的关系向一般直角三角形推广，这也是数学思想方法的系统运用. 需要指出的是，在对这三种关系梳理的过程中，教师最好都要指出此前数学学习过程中的类似情形，以促使学生有效回忆原有的知识体系并使原有的数学思想方法形成正迁移.

以系统思维为基础的数学教

学新理解

在系统思维教学思路的指引下，包括勾股定理在内的数学知识学习的过程，都体现出了明显的承上启下、前后呼应的特征，学生在构建数学知识的时候总能有意识地寻找新学知识与原有知识之间的关系，无论是在数学情境中构建知识，还是在实际问题中去解决问题，学生都会分析判断：今天这个数学概念的建立过程与以往哪个数学概念有类似的地方；一个问题的解决需要哪些其他问题的解决；这个数学问题与某个数学问题之间是否存在共性等. 笔者以为，这些表现都是系统思维作用的结果.

综上所述，以系统思维作为初中数学教学的一个重要思路，可以促进有效教学的实现，在日常数学教学中采用隐性的系统教学思路，可以促进学生在构建数学知识时更注重系统性；在阶段性复习或总复习中将隐性的系统思维角度显性化，有助于学生高效理清数学知识之间的脉络. 因此，系统思维确应如章建跃博士所说的那样，可以引导师生教学既见树木，又见森林.