运用贯通法构建数学知识体系

蒋海燕

[摘 要]贯通法是指通过多种途径将数学知识按照其内在联系进行有机整合贯通.这种方法不仅有助于学生把握数学本质及内在联系，而且有助于学生获得相对系统完整的数学知识，提高数学能力.运用贯通法的主要途径可以归纳为：以系统性为导向，贯通数学知识之间的内在联系；以核心内容为统领，贯通数学知识之间的纵向联系；以现代数学思想方法为红线贯通数学知识之间的横向联系；以例题变式训练为手段，帮助学生从纵横两个维度构建数学知识体系.

[关键词]贯通法 构建 知识体系

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110001

贯通法是笔者在数学教学中经常自觉运用的一种方法.所谓贯通法是指通过多种途径将数学知识按照其内在联系进行有机整合贯通，使分散的知识点形成一个相对系统完整的知识体系.这样不仅有助于学生把握数学的本质及其内在联系，而且有助于学生获得相对系统完整的数学知识，提高数学能力.

根据系统论的观点，系统地组织起来的材料所提供的信息，远大于部分材料所提供的信息之和.创造心理学研究则表明，新的发明创造主要决定于整体性认知框架的转换，而整体性认知框架的形成则在于对对象整体的把握.在数学教学过程中，怎样才能帮助学生形成系统的知识，形成具有整体性的认知框架呢？笔者在教学实践中深深体会到，贯通法就是其中一种非常有效的方法.

一、以系统性为导向，贯通数学知识之间的内在联系

希尔伯特曾指出：“数学是一个不可分割的整体，它的生命力正是各个部分之间的内在联系.”[1]中学数学教学内容编排的重要特点之一是系统性.系统性主要包括逻辑性、连续性和层次性等几个方面的要求.所谓逻辑性，即数学概念和命题的排列是以它们赖以生存的思维顺序展开的.数学是一门演绎科学，严谨的逻辑性是它的主要特征之一，因而数学教材中一切数学概念的展开都是以概念间的联系为依据，并形成概念系统，所有数学命题的建立都是以学科公理为基础，用逻辑推理的方法来证明.所谓连续性，即数学知识间的过渡是连续的，先行知识与后继知识之间是连续地发展.所谓层次性，即数学教材本身是一个前后相继的结构系统.一般都是先安排最基本的概念和原理，再逐步呈现其下属概念和下位原理.数学教学内容系统性的特点决定了教师在数学教学中必须注重系统性，即注重数学知识间的逻辑性、连续性和层次性，从宏观上构建知识网络.例如在讲某个概念时，教师首先要在宏观上认识这个概念在数学知识体系中的地位与作用，弄清楚“为什么要引入这个概念，这个概念与相邻概念之间是什么关系，它们之间有何联系与区别”等问题，从而在头脑中建立起由基本概念构成的概念系统，然后再把这种观念传递给学生，让学生围绕这个概念逐步构建起一个概念网络.网络的结点越多，概念系统就会越完善，实现转化、迁移的能力就会越来越强.如实数概念的教学，可以把实数进行分类，写出分类表，通过分类表指出数的概念从自然数到分数、有理数再到实数的扩充过程，进一步比较各种数集及其运算性质，从而指出数概念的扩充原则以及各种数集间的关系，这样学生可清晰系统地掌握概念间的逻辑关系.中学数学中许多定理彼此紧密联系，教完这些定理之后，应及时揭示这些定理之间的内在联系，使学生的知识系统化，形成数学命题体系.如学习了几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理以后，可以通过运动变化的观点，生动巧妙地阐明它们之间的内在联系，并给以量化，统一成圆幂定理.

二、以核心内容为统领，贯通数学知识间的纵向联系

对于一个由若干相关章节内容组成的数学单元来说，其内部知识之间必然有着紧密的逻辑联系，而在这样的知识结构中必定有其核心内容.所谓核心内容，就是指在单元知识结构中能够对其他知识起着统领、整合和解释作用的基本概念、基本方法或基本规律，在单元复习中只有注重运用核心知识统领并整合其他知识，才有可能更好地掌握知识单元的逻辑结构，形成良好的具有整体性的认知框架.例如，在复习《解析几何》这一单元的知识时，就要抓住其核心内容——解析法.解析法是数形结合思想方法的内核，也是直线、圆以及各种圆锥曲线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依解析法而展开，因此，解析法在解析几何知识中居统领地位.在解析几何知识单元复习中，必须运用解析法去研究推导直线、圆以及各种圆锥曲线的典型方程，帮助学生掌握曲线的点、对称轴、焦点、离心率、弦、切线等有关元素，树立曲线与方程相互转化的意识，掌握转化的基本方法及应遵循的基本规则，明确解析法与其他各项知识之间的逻辑关系，使本单元的整个知识系统化、结构化.这样不仅有利于学生加深理解，也有利于学生记忆，更有利于知识的迁移，为学生发展智力、提高能力奠定坚实的基础.

三、以现代数学思想方法为红线，贯通数学知识间的横向联系

中学数学的全部教学内容中有两条主线，一条是反映数学知识间纵向联系数学知识系统的线；另一条是反映了数学知识间横向联系数学思想方法系统的线.这两个系统从纵横两个维度上构成了数学学科的基本结构.现代数学教学论认为，在数学教学中让学生掌握数学思想方法，对促进学生把握学科结构、发展数学能力是至关重要的问题.而淡化数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握学科的基本结构，也使学生对数学思想方法的掌握若明若暗，严重影响学生数学能力的发展.因此，在数学教学中要注重运用现代的数学思想方法处理数学教学内容，帮助学生把握知识间的横向联系.

例如数形结合思想.数与形是数学中两个最基本的概念.数学的内容和方法都是围绕对这两个概念的提炼、演变、发展而展开的.在数学科的发展中，数与形常常是结合在一起的，内容上相互渗透，方法上相互联系，在一定条件下互相转化.中学数学的代数、函数、三角、几何都渗透了数形结合的内容和思想.如实数与数轴上的点一一对应；复数与坐标平面上的点一一对应；函数可用图像表示；二元一次方程表示坐标平面上的一条直线；二元二次方程表示二次曲线；等等.掌握了数形结合的思想方法，有助于把代数、函数、三角、几何的相关知识融会贯通，在分析问题与解决问题时，把图形的性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形的性质问题，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，化难为易.

对于这样一个知识跨度较大的题目，如果到此结束，不给出几个变式进行强化，学生仍然对有关知识和思想方法不能融会贯通，稍微变形便会不知所措，找不到解题方法.因此，有必要顺水推舟给出下面几个变式练习：

变式 设f（x）=ax2+bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，

（1）求f（-2）的取值范围；（2）求ba的最小值；

（3）求a2+b2的取值范围；（4）求a2+b2-4a-2b+5的取值范围.

通过这样的变式训练，不仅能使学生从整体上把握线性规划问题的本质特征，而且能使学生学会发散思维，达到“会一题，通一类”的效果.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 希尔伯特.数学问题，数学译文集[M].上海：上海科技出版社，1981.

[2] 张建.试卷讲评要关注学生的思维过程[J].数学通报，2014（2）.

（责任编辑 黄桂坚）