基于核心素养导向的中学数学教学思考

2016-11-16李龙安侯学萍

现代中小学教育 2016年10期

关键词：圆周角直线数学知识

刘　锦　李龙安　侯学萍

(1.河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡 453007；2.新乡职业技术学院，河南新乡 453007)

数学研讨

基于核心素养导向的中学数学教学思考

刘锦1李龙安2侯学萍1

(1.河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡 453007；2.新乡职业技术学院，河南新乡 453007)

核心素养的提出，是我国教育发展的一个新机遇，是对全面深化课程改革的一个挑战。学生“核心素养”的培育是育人的重要目的，实现育人的目的最终还要靠教师。学生核心素养的培育能否落实，真正的挑战在课堂。在核心素养导向下，数学教师应该把重点放在学习领域。提升学生的核心素养需要教师强化核心概念，夯实基础力；立足学生思维，提升思考力；创设真实情境，增强实践力；明鉴数学历史，增强创造力。

核心素养；中学；数学；教学思考

进入21世纪以来，世界各国和地区纷纷开始启动学生“核心素养”的研究。“核心素养”是对人才质量标准的重新定位，是教育发展赋予改革的重要使命[1]。我国正处在教育变革时期，核心素养的提出，是我国教育发展的一个新机遇，是对全面深化课程改革的一个挑战。学生“核心素养”的培育是育人的重要目的。历史告诉我们，实现育人的目的最终还要靠教师，他们的观念、行为、态度、教学决策及各种认识过程，决定了教育改革的成败。[2]因此，学生核心素养的培育能否落实，真正的挑战在课堂。那么如何基于核心素养来设计和实施课程，是值得每一位教师深入思考的。本文根据核心素养的内涵及其特征，提出了中学数学课堂教学设计的一些思考，供同行参考。

一、核心素养的概念

核心素养是指学生在接受相应学段的教育过程中逐步形成起来的适应个人终身发展与社会发展的人格品质与关键能力。[3]

图1　核心素养结构

钟启泉教授在《基于核心素养的课程发展：挑战与课题》一文中把我国“核心素养”及其形成的概念框架设想成由四层构成的同心圆结构(如图1)。

核心层：价值形成。知识、技能是受制于价值观的，因此价值形成应当置于“核心素养”的核心地位。

内层：关键能力。如信息处理、反省思维、沟通协同、革新创造等能力。

中层：学习领域。如语言、人文科学与艺术学科群、数理学力群以及跨学科领域。

外层：支持系统。即体制内外的政策性、技术性支持系统。[3]

在这个结构中，外层支持系统越来越到位：从2012年以来，国家财政性教育经费在GDP中的占比已连续四年超过4%。核心层价值的形成是学生发展的最终目标，取决于能力的形成，而关键能力的形成，又取决于学习领域。

在“核心素养”的要求下，我们既要考虑数学学习的结果，也要全面把握数学学习的过程，这样才能充分把握学习的价值。因此，核心素养的培养重点在学生的学习过程，数学核心素养的培育必须借助体现数学本质的教学来支撑。

二、核心素养导向的数学教学思考

图1　“21 世纪型能力”的框架

根据核心素养的内涵，学习是为了获得适应个体终身发展与社会发展的人格品质与关键能力。为了培养在21世纪学会生存的公民，日本国立教育研究所提出了“21 世纪型能力”，以“思考力”为核心，与支撑思考力的“基础力”以及运用知识技能的“实践力”，构成三层结构(如图2所示)。[4]

能力的发展离不开科学系统的知识传授和技能训练，掌握双基与发展能力是密切相关的但又不是同步的。在“双基”教学中，学生的能力发展是经过有意识地培养而实现的。因此，基于核心素养导向的数学教学就需要对教学进行精心设计，以达夯实基础力、提升思考力、增强实践力与创造力的目的。

1.强化核心概念，夯实基础力

在数学学习中，基础力是指学生有效把握数学基本知识的能力。数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。[5]

核心概念对于数学基础知识来说，就像骨架和人的关系一样，位于数学知识结构的中心。在数学教学中帮助学生自主构建具有清晰性、概括性、包容性的认知结构，方便学生有机地联系新旧知识，并连续不断地把新的数学知识纳入自身的认知结构体系。由于学生独立完成建构的过程，所以学生在需要的时候能够精确地提取和应用；在构建核心概念的过程中，按照知识内在的逻辑，将零散的知识系统化，整合成有机统一的知识体系。数学核心概念是反映数学本质和统摄性的概念，位于数学知识结构的上位，可以在不同的学习情境中普遍地应用，从而有效地实现学生学习的迁移，提升基础力。

例如，在“直线与方程”“圆与方程”的学习过程中，点到直线的距离是核心概念之一。它既是两点间距离公式的发展，又是解决两平行直线间距离的基石，在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等相关问题中起着统领作用。

在对这一概念进行教学时，首先要理解概念。学生不能只会背书上的定义，要准确地理解它的本质，即点到直线的距离就是点到直线上所有点的距离的最小值。

在“证明点到直线的距离公式”的教学时，先让学生通过自己所学知识，发挥他们的主观能动性，寻求解决问题的多种途径(如：垂线段法、等面积法、三角函数法等)。在证明方法的交流过程中，教师通过等面积法构造的直角三角形自然地引出三角函数法；在多种方法的呈现和推进中，潜移默化地把数形结合、转化与化归、函数与方程等思想传授给学生。

在点到直线的距离公式的应用教学时，注重发挥核心概念是数学核心知识的“控制中心”的作用，促进知识的生长。在解决如下三个问题时，点到直线的距离公式起着控制作用。

A.相切B.相交C.相离D.不确定

问题3：(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________。

第一个问题属于基础题型，直接利用圆心到直线的距离就可以判断出来；第二个问题的解决是把求最小值的问题转化为“点到直线的距离就是点到直线所有点的距离的最小值”；第三个问题较为复杂，表面上看与点到直线的距离无关，但仔细分析过后会发现，最终还是归结到“点到直线的距离就是点到直线上所有点距离的最小值”。

数学概念是构建数学大厦的基础，是进行一切数学推理和判断的出发点。因此，在“双基”教学中，要使学生真正领会和把握数学核心概念的实质，发挥核心概念的引领作用，夯实学生的基础，为后续的学习做准备。

2.立足学生思维，提升思考力

在数学教学中，教师对数学知识的认知不同于学生的认知，教师和学生对其认知过程如图3。[6]

图3　教师与学生对数学知识的认知

教师对数学知识的把握是自上而下的，是在高观点下进行的数学教学；而学生的学习则是自下而上的，这个过程实际上是一个不断概括的过程，其中既有归纳思维，又有演绎思维，两者相互为用而把数学知识的建构活动不断引向深入，在对数学内容本质认识的深化中逐渐养成数学的高观点。

教学中教师要关注学生思维发展的特征，尊重学生现有的能力水平，并以此为依据进行数学课堂教学设计，采用相对应的教学策略，激发学生认知上的不平衡，促进新知和旧知的相互作用，通过同化或者顺应，让学生达到新的认知平衡，最终获取新的数学知识，有效促进学生的思维发展。

图4　圆心角的两种特例

例如，在“圆周角定理”这一节的学习中，由于教师知道圆心角和圆周角之间存在一定的数量关系，大部分教师直接要求学生测量同弧所对圆心角和圆周角的度数，随后让学生观察二者是否存在联系，最后得到定理，这样就失去探究的意义。教学的关键在于学生是如何发现二者之间存在关系的？爱因斯坦曾经说过，提出一个有价值的问题往往比解决一个有价值的问题更重要。教学设计时，立足学生思维，遵循从特殊到一般的规律，给学生搭建脚手架：可以先给出圆心角为90°和180°这两种特例，画同一条弧上的圆周角，通过观察学生萌生“同弧所对圆周角与圆心角之间可能存在数量上的联系”这样的想法。通过分析这两种特殊的情况，得到猜想：“在一个圆里面，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”。为了验证这个猜想是正确的，让学生用量角器测量任意情境下的圆周角与圆心角，更加确定他们的猜想。

接下来要证明猜想，证明的关键是怎样分类，以什么标准去分类，这是教学的重点也是难点，一旦这个问题解决了，其他的问题也就迎刃而解。

图5　圆心与圆周角的位置关系

引导学生回到特殊情境，当圆心角为90°时，圆心在圆周角的一边上，圆周角容易求出为45°；当圆心角为180°时，圆心在圆周角里面，需要作圆周角的顶点与圆心的连线，从而得出圆周角为90°。这样使学生意识到在求圆周角时圆心和圆周角的位置关系有关，突破难点的关键是：明确圆心与圆周角的位置关系。学生积极投入寻找圆心和圆周角有什么样的位置关系中去：有的学生可能通过画图来讨论；有的学生则通过折圆形纸片来得到；也有极少数学生找不到位置关系，所以教师会深入课堂个别指导，最后达成共识：圆心与圆周角有以下位置关系：在进行圆周角定理教学时，让学生体验从特殊到一般的数学思想，使学生经历探究解决数学问题的整个过程：特例—猜想—实验验证—推理论证—结论。教学设计基于学生思维出发，想学生所想，在学生思维的困惑点给以点拨，激活学生的思维，引导学生发现问题，主动探索问题解决的办法，最后使得学生“拨开云雾见月明”，达到提升思考能力的目的。

3.创设真实情境，增强实践力

“核心素养”无法直接教授，是需要在真实的问题情境中通过问题解决培养起来的。很长一段时间里，在数学教学中广泛存在着数学知识与实际生活相分离的现象。学生经常抱怨数学的枯燥乏味，缺乏学习数学的激情。这是因为数学课堂偏重于形式化，让学生觉得数学离生活很远，而知识只有运用在学生的学习生活中才会有鲜活的生命力。

教学情境能够引发学生积极的认知和情绪状态，让学生主动、快速地融入课堂，取得以境育情、以境促知的良好效果。[7]基于现实生活与社会中的情境，来设定问题情境，可以使学生能够体悟到学习的意义与切实性。在数学教学中，应该创设具有真实问题的情境，努力让学生产生学习、研究新问题的心向，让学生体验数学发现和创造的心路历程。

图6　实际问题情境　　图7　抽象后的三角形

例如，在学习“解三角形”时，可创设如下问题情境：

某林场为了第一时间发现火情，在林场中设立了A和B两个观察点(如图6)，某日两个观察点的工作人员分别观测到C处有险情，在A处观察到C在北偏西45°方向，在B处观察到C在北偏西60°方向，已知B在A的正东方10 km处，那么火场C到观察点A的距离是多少？

这个实际问题是关于火情测报的，在安全意识成为公民教育内容的今天，它本身值得关注。问题情境告诉我们两个观察点的信息足以确定火情的位置，激发学生去寻找关系，这就是问题情境的力量，它不仅来自现实问题的感召，而且还来自内在智趣的吸引。从这个情境的图示中，还能看到两个直角三角形，这正是本节课的重要思想，它不仅引发思维的动力，还孕育思想的胚胎。也就是说，问题情境不只是把学生引导到问题探究的起点上，还要为学生开启问题探究的思路。[8]

真实情境有利于数学学科育人功能的充分发挥，从而培养学生的理性精神。在真实问题情景中，学生可以从已有的实践活动和经验中寻求从事新的实践活动的重要启示和生长点，在主动探索、实践反思、交流、提高的过程中获得知识，从问题解决的过程中发现新事物，使学生学会应用数学知识灵活解决问题，主动解决相应的情境任务，更加透彻地理解和掌握所学知识，从而提高学生实际解决问题的能力。

4.明鉴数学历史，增强创造力

傅鹰指出，科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。[9]教师要善于跟随前人探索和发现的脚步，打开凝结在数学定理和公式中的思维，把前人思考和突破的方法进行借鉴与创新，然后内化，还要善于使用合情推理，为知识的建构提供方向。

借鉴历史，只要找到一个满足祖暅原理的两个条件并且能计算出体积的几何体作为半球的参照体即可。

通过分析—试误—实验—推证—结论，需要推证得到的结论。根据祖暅原理，要证两个几何体体积相等，它们的高都是R，只需证明用任意一个水平面去截它们时，得到的截面面积相等即可。现在用高度为l的平面去截两个几何体(如图8)：

图8　半球与圆柱和圆锥的体积关系

S圆环=πR2-πl2S半球截面=S圆环，

所以，根据祖暅原理可以得到，圆柱的体积减去圆锥的体积等于半球的体积。

图9　半球的参照体

通过探寻数学历史中球的体积公式的发展脉络，从张衡到刘徽，再到祖暅，让学生感受古人在求球体积公式的过程中所表现出来的探索和发现的精神。在感悟球体积公式的发生、发展过程中，抓住祖暅原理的实质，发挥主观能动性，找出不同的解决方法和途径，这样才能更加深刻地理解数学和数学活动的本质，增强学生的创造力。

总之，核心素养导向的数学教学是体现数学学科价值的必由之路，也是全面深化课程改革的一个挑战。一线教师应当转变教学观念，打破和冲出原有的思维方式，以学生核心素养提升为目标，在实际教学中探索和累积改革经验，不断优化教学设计，关注学生个体知识的建构和应用，创设有利于能力发展的真实情境，从而培养学生的核心素养。

[1] 常珊珊，李家清.课程改革深化背景下的核心素养体系构建[J].课程·教材·教法，2015，35(9)：29-30.

[2] 王长沛.数学教育与素质教育[M].北京：中华工商联出版社，1999：223.

[3] 钟启泉.基于核心素养的课程发展：挑战与课题[J].全球教育展望，2016(1)：3-7.

[4] 森闵昭.21世纪学习的创造[M].京都：北大路书房，2015：133.

[5] 章建跃.数学学习与智慧发展(续)[J].中学数学教学参考，2015(8)：4-6.

[6] 章建跃.数学学习与智慧发展[J].中学数学教学参考，2015(7)：6-7.

[7] 何安明，惠秋平.课堂教学中知情交融的操作方法[J].课程·教材·教法，2015，35(10)：55-57.

[8] 裴光亚.在“在场”的有限里，追寻“不在场”的无限：六盘水特色课例展示评点[J].中学数学教学参考，2014(11)：8-9.

[9] 陈玉婵.如何让数学文化在中学课堂中绽放魅力[J].福建中学数学，2016(2)：20-22.

[责任编辑：陈学涛]

10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.10.009

2016-05-27