数控机床热误差时间序列模型预测稳健性的提升

苗恩铭，刘　义，董云飞，陈维康

(合肥工业大学 仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009)



数控机床热误差时间序列模型预测稳健性的提升

苗恩铭*，刘义，董云飞，陈维康

(合肥工业大学 仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009)

针对数控机床热误差建模应用的时间序列算法受严重多重共线性的影响存在预测稳健性不足的问题，提出一种提升时间序列预测稳健性的方法。该方法将时间序列算法与能够抑制多重共线性的建模算法相结合，从而既可通过在模型中加入温度滞后值来提供更全面的温度信息，又可对温度滞后值引入的更为严重的多重共线性进行处理。文中以时间序列算法中的分布滞后(DL)算法、共线性抑制算法中的主成分回归(PCR)算法为例，采用主成分分布滞后(PCDL)算法建立了机床热误差补偿模型，并将其与DL算法的预测精度和稳健性进行了比较。结果显示，PCDL算法因为抑制了多重共线性的影响，其模型预测精度和稳健性远优于DL模型，预测精度提升了约9 μm。本文所述方法可为时间序列数据建模在不同领域内的应用提供参考。

数控机床；热误差；时间序列模型；预测稳健性；主成分分布滞后算法

1　引　言

随着科学技术的发展，对数控机床及加工中心的加工精度和可靠性提出了更高的要求。在数控机床加工过程中，由于各部件不均衡温升引起的热误差，使得刀具和工件之间的相对正确位置发生了变化，行成零件的加工误差。据统计，数控机床热误差约占总误差的40%～70%[1,2]。通过应用设计和制造技术改进床身结构的硬件补偿方法成本高，且效果并不十分理想。因此，对数控机床热误差软件补偿技术的研究具有重要意义[3]。

在数控机床热误差软件补偿技术中，核心的问题是建立预测精度高、稳健性强的热误差补偿模型[4]。由于机床结构和材料对机床散热的限制，温度传感器对温度值的采集通常存在一定的滞后效应，为了提高数控加工中心热误差模型的补偿精度，人们尝试将时间序列模型应用于机床热误差建模。合肥工业大学的苗恩铭等[5,6]采用时间序列中的分布滞后、自回归分布滞后算法建立了机床热误差补偿模型，获得了较高的建模拟合精度；上海交通大学的杨建国等[7,8]采用时序分析法进行数控机床热误差建模，论述了时间序列模型，既考虑到所研究序列的过去值，又能反映序列的随机性和统计特征，建模柔性强，具有良好的建模拟合精度。而时间序列模型之所以具有较强的建模拟合精度，是因为该算法将自变量本期值和滞后值、甚至是因变量自身的滞后值纳入了热误差模型中，运用自变量和因变量自身数值变化所包含的实际影响因素信息，较大程度的保留了实际测量数据所提供的真实信息[9]。

但是，实际热误差补偿是通过离线建立的模型对后续的机床热误差状态进行预测实现的，因此，模型的预测精度和预测稳健性成为最为需要关注的参数[10]。一个具有较好建模拟合精度的模型，不一定具有较高的预测精度和稳健性[11]。时间序列模型中自变量滞后值等的加入，使时间序列模型具有比多元线性回归模型更为严重的多重共线性问题，反而降低了其预测精度和预测稳健性[12]，成为时间序列模型应用在实际热误差建模中的局限性。文献[5-8]提及了时间序列模型对热误差预测的稳健性有待提高，但并未在热误差时间序列建模的相关研究中发现有关其稳健性的提升方案。

对此，本文提出一种时间序列稳健性的提升方法，将时间序列算法与具有共线性抑制功能的算法结合，既实现了在模型中加入自变量滞后值，又对自变量滞后值加入带来的更为严重的多重共线性进行处理。选择时间序列算法中的分布滞后(DL)[12]算法、具有共线性抑制功能算法中的主成分回归(PCR)[13]为例，提出采用主成分分布滞后(PCDL)算法建立机床热误差补偿模型的方法，并将其与DL算法的预测精度和稳健性进行了比较。

2　热误差建模算法理论知识

2.1分布滞后(DL)算法

如果因变量不仅与一个或多个自变量的当前值有关系，而且与其若干滞后值有关系，通过多元回归分析来描述这种关系的模型称为分布滞后模型[12]，记为：

(1)

式中：n为最大滞后阶数；α0为常数项；u为外生变量个数；yt为因变量；βj,i为系数；xj,t-1为第j个自变量的t-i期值。

对于滞后阶数n的确定，可以采用权宜估计法。即取n=1,2,…,i，对不同的i条件下经最小二乘拟合，当滞后变量的回归系数开始变得统计不显著，或其中有一个变量的系数改变符号时，i-1为最终的滞后阶数。

2.2主成分分布滞后(PCDL)算法

DL算法虽然考虑了温度传热的迟滞性，但温度滞后值的加入，也使DL模型具有比多元回归模型更为严重的多重共线性[12]。因此，通过多元回归分析来描述因变量与自变量的当前值及其滞后值之间关系的DL算法存在弊端。

对此，将DL算法与能够抑制自变量多重共线性的算法(如主成分回归[13]、岭回归[14]等)结合起来，既在模型中加入了温度滞后值，又对温度滞后值加入带来的更为严重的多重共线性进行了处理。

以DL算法结合主成分回归算法为例，提出采用主成分分布滞后(PCDL)算法建立数控机床热误差补偿模型的方法。 其原理是通过主成分回归分析对因变量与自变量的当前值及其滞后值之间的关系给予描述的，其模型方程表达形式与DL模型式(1)相同。

2.3主成分回归(PCR)算法

主成分回归[13]是用于共线性数据分析的有偏估计方法，它采用原自变量的主成分代替原自变量作回归分析。由于主成分保留了原指标的绝大部分信息，且互不相关，因此利用主成分回归分析可以有效地解决回归分析中自变量间共线性问题，以达到较好的估计效果。

主成分回归算法具体步骤为：

(2)

(3)

其中:u1,u2,…,up为标准化数据X*的自相关矩阵的特征向量，主成分F1,F2,…,Fp之间互不相关，且VarF1≥VarF2≥…≥VarFp>0。

(2) 选择累计方差贡献率大于85%的前m个主成分，用以建立因变量Y与主成分F1,F2,…,Fm之间的回归模型：

(4)

(5)

3　数控机床热误差测量实验

以Leaderway-V450型数控加工中心为实验对象，根据实验所得的主轴Z向热误差，建立热误差和温度敏感点之间的多种数学模型，并对这些模型的预测稳健性能力进行探讨。

实验选择温度传感器DS18B20(测量精度为±0.2 ℃，最高分辨率可以达到0.062 5 ℃)测量温度数据；采用电涡流位移传感器(测量精度为±0.5 μm)对机床主轴Z向热误差进行测量。温度传感器的贴放位置以影响机床主轴Z向热误差的主要热源附近为主，各传感器的安放位置如表1所示，温度传感器T1～T9和电涡流传感器S的分布位置示意如图1所示。

表1　传感器安放位置

图1　各传感器的分布位置示意图Fig.1　Distribution positions of sensors

实验测量时，主轴以恒定的转速(2 000 rpm、4 000 rpm、6 000 rpm)转动，每隔3 min停转一次，电涡流传感器移到主轴正下方，使主轴下压电感传感器，测量主轴Z向的热变形，同时通过温度测量系统采集该时刻的温度数据。一次采样结束后，主轴上移，电涡流传感器右移。整个实验循环执行上述步骤，持续时间达到4 h之上。

根据所述实验方法，在不同季节内共测量得到12批次数据，具体参数如表2所示。12批次数据的热误差曲线如图2所示。给出K1批次的温度测量数据,如图3所示。

表2　实验数据具体参数

图2　K1～K12批次数据的热误差曲线Fig.2　Thermal deformations of K1～K12

图3　K1批次的温度测量数据Fig.3　Temperature measuring data of K1

4　热误差建模实例及模型精度分析

4.1温度敏感点选择

在建立机床热误差补偿模型时，需要选择合适的温度敏感点参与建模。而温度敏感点选择时主要遵循3个策略[15]：(1)互不相关策略，要求所选温度敏感点之间满足非共线性条件；(2)主因素策略，要求所选温度敏感点对热变形量具有最大影响权重；(3)最少布点策略，在满足热误差建模精度前提下，要求所选温度敏感点的数目最少。

目前，大多数温度敏感点选择原理为，先对所有温度变量进行相关性分组，然后通过在组内寻优，最终将所有组内的最优变量组合，作为温度敏感点用以建模[16-19]。但是这类选择方法通常存在一个弊端，即所述的互不相关策略和主因素策略相互矛盾。这是因为，影响机床主轴热误差的大权重热源往往集中在主轴电机和主轴前轴承，这些位置由于比较接近而具备较强的共线性，如果以降低温度敏感点之间共线性误差为首要考虑因素时，只能从这些位置中选择一个温度变量用以建模，会导致另外选择的温度敏感点对热变形量的影响权重降低。

为了对上述论述内容给予论证，选择具有代表性的温度敏感点选择方法，即模糊聚类结合灰色关联度(FC-GRD)，对实际热误差数据给予分析。FC-GRD的原理为：将所有温度变量按相关性分类，使得同类之间的变量具有较强的相关性，异类之间的变量具有较弱的相关性；并将每类中与热变形量关联度最大的温度测点组合起来作为温度敏感点。

采用FC-GRD方法对K1～K12批次数据进行温度敏感点选择，结果如表3所示。

表3　温度敏感点选择结果

表3中的各批次数据的温度敏感点结果并未保持一致，即机床温度敏感点存在变动性。该论点已在文献[20]中论述过。

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(6)

式中:Y为热变形量，Ti(i=1,2,…,10)分别对应温度变量T1～T10。

表4　各批次数据中的T1～T10与热变形量的关联度排序

由表4明显看到，以降低温度敏感点之间的共线性误差为首要考虑因素的FC-GRD方法，其选择出的其中一个温度敏感点对热变形量的影响权重为最大，而另外一个温度敏感点对热变形量的影响权重小得多，远小于如T2～T4等温度变量对热变形量的影响权重。所以说，通过该方法在选择建模自变量时，互不相关策略和主因素策略是相互矛盾的。

基于上述论述，在选择DL和PCDL模型的建模自变量时会有所不同，在此给出一个统一解释，即在选择DL模型的建模自变量时主要遵循互不相关策略、主因素策略和最少布点策略，这与大多数方法的选择准则相同；而对于PCDL算法，由于其本身能够抑制自变量共线性误差的影响，且互不相关策略和主因素策略又互相矛盾，因此，该算法的建模自变量在选择时不需要遵循互不相关策略，仅主要遵循主因素策略和最少布点策略。可通过灰色关联度算法计算得到PCDL模型的建模自变量，结果如表5所示。

表5　用以PCDL模型的建模自变量

4.2PCDL算法建模及精度分析

由权宜估计法判断PCDL模型的滞后阶数为二阶。按照表5中的建模自变量选择结果，分别建立K1～K12批次的PCDL模型:

(7)

式中:yl(l=1,2,…,12)为第Kl批次数据的热误差拟合/预测值，Tj,t-i(j∈[1,10],i=0,1,2)为第j个温度变量的t-i 阶滞后值。

根据建立的每一个PCDL模型，分别对K1～K12批次的热误差数据进行拟合/预测，得到K1～K12热误差拟合/预测值，并计算热误差拟合/预测值和实测值之间的残余标准差值，得到每一个PCDL模型对K1～K12批次数据的热误差拟合/预测精度。其中，拟合精度是指根据历史数据所建立的模型，对建模的历史数据的偏离程度的评价；预测精度是指根据历史数据所建立的模型，对未参与建模的历史数据的偏离程度的评价。残余标准差见式(8)，该值越小，表明模型拟合/预测精度越高:

(8)

根据上述分析方法，每一个PCDL模型将得到1个拟合精度参数和11个预测精度参数。所以，PCDL模型式(7)将会得到12个拟合精度参数和11×12个预测精度参数。将每一个模型的11个预测精度参数给予平均化和离散化，分别得到每一个模型的1个预测精度平均值参数Mn、1个预测精度离散标准差参数Sd。Mn越小，表示模型平均预测精度越高，Sd越小，表明模型的预测稳健性越强。PCDL模型式(7)的拟合精度S、Mn和Sd结果如表6所示。表6中，M1～M12分别为由K1～K12批次数据所建的12个PCDL模型。

表6PCDL模型式(7)的S、Mn和Sd

Tab.6S,MnandSdof PCDL model (7)(μm)

由表6中可知，PCDL模型式(7)的拟合精度S分布在1.50～3.59 μm，预测精度平均值Mn分布在4.49～8.59 μm，预测精度离散标准差Sd分布在1.78～4.20 μm。

4.3DL算法建模及精度分析

(9)

式中:yl(l=1,2,…,12)为第批次数据的热误差拟合/预测值，Tj,t-i(j∈[1,10],i=0,1,2)为第j个温度变量的t-i阶滞后值。

按照4.2节中的模型精度分析方法，得到DL模型式(9)的拟合精度S、预测精度平均值Mn和预测精度离散标准差Sd，结果如表7所示。另外，为方便各模型精度比对，将由Ki(i=1,2,…,12)批次数据所建的PCDL和DL模型均取名为Mi。

表7　DL模型式(9)的S、Mn和Sd

由表7可知，DL模型式(9)的拟合精度S分布在0.43～1.11 μm，预测精度平均值Mn分布在5.58～34.75 μm，预测精度离散标准差Sd分布在2.95～21.35 μm。

4.4PCDL和DL模型的精度比较

图4　DL和PCDL模型的拟合精度S的比较Fig.4　Comparison of fitting accuracy S of DL and PCDL models

图5　DL和PCDL模型的预测精度平均值Mn的比较Fig.5　Comparison of mean of forecasting accuracy Mn of DL and PCDL models

造成上述效果的原因是，PCDL模型应用了主成分回归(PCR)的建模方法，而PCR算法是一种处理共线性数据的有偏估计方法。即，PCDL模型在对自变量之间的多重共线性处理时，以牺牲部分拟合精度为前提，实现提高模型预测精度和稳健性的目的。在实际热误差预测补偿过程中，热误差补偿是通过离线建立的模型对后续的机床热误差状态进行预测实现的，因此，模型的预测精度和稳健性才是最为需要关注的参数。所以，PCDL算法很好的实现了提高模型预测精度和稳健性的目的。

5　实验验证

补充10月份和12月份的6批次热误差实验数据，用以模型精度验证。其中，6批次数据的具体参数如表9所示。

表9　验证实验数据的具体参数

表10　DL和PCDL模型的预测精度和稳健性分析

6　结　论

本文提出一种时间序列模型预测稳健性的提升方法。即将时间序列算法与能够抑制多重共线性的建模算法结合起来，这样既可在模型中通过加入温度滞后值以提供更全面的温度信息，又可对温度滞后项引入后带来的更为严重的多重共线性进行处理。本文选择时间序列中的分布滞后(DL)算法、共线性抑制算法中的主成分回归(PCR)算法为例，提出采用主成分分布滞后(PCDL)算法建立机床热误差补偿模型的方法，并将其与DL算法的预测精度和稳健性进行了比较。结果显示，PCDL算法克服了温度滞后值引入后带来的严重多重共线性的影响，其预测精度远优于DL模型，预测精度提升达到9 μm左右。本文方法为时间序列数据建模在不同领域内的应用提供了参考。本文结论只针对Leaderway-v450型数控基础，而对不同类型的数控加工中心并未给予深入研究，故实验结果具有一定局限性。

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苗恩铭(1970-)，男，安徽阜阳人，博士生导师、教授，2004年于合肥工业大学获得博士学位，主要研究方向为精密机械工程、精度理论、数控机床热误差补偿、机械热鲁棒性结构设计理论与应用技术。E-mail:miaoem@163.com

刘义(1994-)，男，安徽淮北人，硕士研究生，2014年于合肥工业大学获得学士学位，主要从事数控机床热误差补偿技术研究、机械形体热变形规律研究。E-mail:liuyi8045@163.com

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Improvement of forecasting robustness of time series model for thermal error on CNC machine tool

MIAO En-ming*, LIU Yi, DONG Yun-fei, CHEN Wei-kang

(School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering,HefeiUniversityofTechnology,Heifei, 230009,China)*Correspondingauthor,E-mail:miaoem@163.com)

When the time series algorithm is used to establish a thermal error compensation model for a Computer Numerical Controlled (CNC) Machine, it shows a shortcoming of forecasting robustness caused by the severe multiple collinearity. This paper proposes a method for improving the forecasting robustness of the time series algorithm. This algorithm combines the time series algorithm with the modeling algorithms which are able to suppress multiple collinearity. Thus, it not only provides more comprehensive temperature information by adding the temperature lag values in the thermal error model, but also deals with the severe multiple collinearity brought by the added temperature lag values. The Distribution Lag (DL) algorithm that belongs to time series algorithms and Principal Component Regression (PCR) algorithm that can suppress the multiple collinearity are selected as the examples, and a modeling method for establishing the thermal error compensation model of the machine tool is proposed by the Principal Component Distribution Lag (PCDL) algorithm. The forecasting accuracy and robustness of PCDL algorithm are compared with that of DL algorithm. The results show that the PCDL algorithm suppress the impact of multiple collinearity, so, its model′s forecasting accuracy and robustness are far better than that of DL model, and the forecasting accuracy is improved about 9 μm. The proposed method provides a good reference for the application of time series data modeling in different fields.

Numerical Controlled Machine (NCM) tool; thermal error; time series model; forecasting robustness; principal component distribution lag algorithm

2016-05-07；

2016-06-10.

国家自然科学基金重大资助项目(No.51490660,No.51490661);国家自然科学基金资助项目(No.51175142)

1004-924X(2016)10-2480-10

TG659

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2480