匀强磁场对平行粒子束汇聚的两类情况分析

刘擎锐

匀强磁场对平行粒子束的汇聚作用，即为粒子经过磁场的偏转后，能聚焦于场中的某点.为达到汇聚的目的，在粒子基本属性（质量和电量）相同的前提下，一般地，粒子射入的速度矢量（速度的大小和方向）、磁场边界的形状需要满足一些特殊的要求.涉及此种问题，在习题中比较常见的有两类情况.

1两类汇聚情况基本原理

在xOy平面内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一质量m，电荷量q（q>0）的粒子组成的平行粒子束，在第Ⅰ象限内沿着-x方向射入该磁场，经偏转汇聚于坐标原点O.依据磁场边界和粒子速度的不同情形，可分为两类情况：第一类是圆弧边界——等速、不同向粒子；第二类是直线边界——不等速、同向粒子.

1.1圆弧边界——等速、不同向粒子

若以y 轴上点O1为圆心，R为半径的圆构成圆弧磁场边界，射入粒子的速度大小v0.如图1所示，选取第Ⅰ象限磁场边界上的任意一点P（x、y），一粒子过P点后，经偏转汇聚于O点.

设对应粒子运动半径r，圆心O2.其轨迹如图1中虚线所示，P点为轨迹的最高点.连接PO2延长交x轴于A点，在Rt△AO2O中，各边关系满足勾股定理x2+（y-r）2=r2，此即为磁场边界满足的方程.分析可知：只要磁场边界在第Ⅰ象限内是以O1（0、r）为圆心，r为半径的半圆，那么粒子必将被汇聚于O点，也就是说，粒子运动的半径r与已知圆形边界的半径R相等是平行粒子束被汇聚的条件.被汇聚于O点的粒子速度大小相等，方向分布在与+x轴夹0°～180°范围内.

1.2直线边界——不等速、同向粒子

若过坐标原点O的直线构成磁场边界，如图2所示，设直线方程y=kx，选取磁场边界上的任意一点P（x、y），粒子过P点偏转后，汇聚于O点.设对应粒子在磁场中运动的半径r，圆心O1，其轨迹如图2中虚线所示，P点为轨迹的最高点.

连接PO1交x轴于A点，在Rt△AO1O中，各边关系满足勾股定理

x2+（r-y）2=r2，

再结合直线方程y=kx，得x=2kr1+k2.

设∠AOO1=θ，则cosθ=xr=2k1+k2.

为一定值，即汇聚于O点的粒子具有相同的速度方向.该方向为与+x方向夹π2+θ角，且斜向左下.为保证射向直线边界的粒子能被汇聚于O点，要求平行粒子束具有不同的速度大小，其速度大小v沿y轴纵向的分布满足v=（1+k2）qB2mk2y，相应的运动半径r应满足1+k22k2y，其值与边界射入点的位置及直线边界的斜率等有关.被汇聚于O点的粒子速度大小不等，方向相同.

2两类汇聚情况比较

3.1圆弧边界——等速、不同向粒子题型变式

（1）粒子源射出的粒子偏转为平行粒子束

只要改变粒子的电性或使磁场方向反向，由处于坐标原点O的粒子源向各个方向射出的等速粒子，经磁场偏转就会形成平行粒子束，如图3所示.若粒子射向第Ⅰ、Ⅱ象限，或只在第Ⅰ象限，那么相应的磁场边界只需要第Ⅰ象限内的半圆或四分之一圆即可.

（2）汇聚情况的最小磁场面积

要能够使粒子汇聚或者形成平行粒子束，对于不同向、等速的粒子而言，存在着磁场最小面积的问题.一个典型的变式如图4所示，射向第Ⅰ象限的粒子经磁场偏转后均沿+x方向，那么磁场的最小面积应是由两个等半径的四分之一圆弧围成的面积.其中上边界恰好为沿+y方向射出的粒子运动的轨迹，下边界是其余所有粒子轨迹最高点的集合，恰好构成以（0，r）为圆心，运动轨迹半径为半径的圆弧.类似的，如粒子向其他方向射出，也同样存在最小磁场的问题.

据可逆性，对平行粒子束的汇聚磁场最小面积也可依据相同的方法得出.

3.2直线边界——不等速、同向粒子题型变式

（1）粒子源射出的粒子偏转为平行粒子束

只要改变粒子的电性或使磁场方向反向，由处于坐标原点O的粒子源向确定方向射出的不等速粒子，经磁场偏转就会形成平行粒子束，如图5所示.粒子的速度随y轴坐标的增大而增加.

（2）汇聚情况的速率极值

如果对直线边界的端点加以限制，那么就存在着平行粒子束的速率极大值问题，常见的是直线与其他图形构成三角形、矩形等的情况.如图6所示，从△OCD的顶点C射出的粒子具有速度的极大值，我们可以通过平行粒子束的最大运动半径来确定这个最大速率值.