用数学方法求解物理中的极值问题

邱先明

极值问题是高中物理的常见的题型，在力学、电学、光学和热学等各个部分均能出现.由于此类问题涉及面广、综合性强，所以成为学生学习物理的一个难点.

数学作为工具学科，在解决极值问题时经常会被用到.用数学方法分析物理问题具有简洁、直观、准确等优点，便于对问题进行分析、推理、论证得出结论.能否把一段复杂的物理情景用简洁的数学语言表述出来，能够体现出一个人的学科素养和解决问题的能力.《考试大纲》明确提出，要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算.

求解物理极值问题常用的数学知识有二次函数、几何作图、三角函数和不等式知识等.分析此类问题首先要进行的就是用数学语言准确地描述整个物理过程，我们称之为数学建模.然后对建立的数学模型分析和讨论，利用相关的数学知识进行运算，得出与实际物理过程相符的结论.

下面介绍几种常用来求解极值问题的数学方法.

1利用二次函数求极值

例题物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10 m/s的速度匀速前进，B以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离.

分析本题属于运动学中的追及和相遇问题.此类问题解法较多，常见的有物理分析法、二次函数求极值法、图象法、相对运动法等.下面我们分别用二次函数求极值法和图象法两种方法进行分析.

解物体A、B的位移随时间变化规律分别为

xA=10t，xB=12at2=t2，

则A、B间的距离Δx=10t-t2，由二次函数图象是抛物线可知Δx有极大值，

当t=5 s时，Δx最大，

Δxm=4×（-1）×0-1024×（-1） m=25 m.

2利用图象法求极值

例题还以上题为例.

解根据题意作出A、B两物体的v-t图象，如图1所示.

由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是vA=vB，得t1=5 s.

A、B间距离的最大值数值上等于△OvAP的面积，

即Δxm=12×5×10 m=25 m.

与复杂的运算过程相比，图象法更简洁、直观，甚至能表示出一些无法用语言准确表达出的内涵.因此，图象法是处理物理问题的一种不可或缺的数学语言工具.但由于图象法过程简单，必须加以必要的文字描述，说明运动过程、研究对象以及一些简单的运算公式.

3利用三角函数求极值

例题如图2所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33.（重力加速度g取10 m/s2）

求：拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

4利用不等式求极值

物理中常用的利用不等式求极值的方法有一元二次方程的判别式法、基本不等式法等.

例题1914年富兰克林和赫兹在实验中用电子碰撞静止的原子的方法，使原子从基态跃迁到激发态，证明了玻尔提出的原子能级存在的假设.设电子质量为m，原子质量为M，基态与激发态的能量差为ΔE，试求入射电子的最小初动能.

解设电子碰撞前后的速率分别为v1和v2，原子碰撞后的速率为v.根据动量守恒定律所以，入射电子的最小动能为M+mMΔE.

数学方法在解决物理问题时起到了至关重要的作用，但值得注意的是，由于物理量受到物理规律和条件的制约，其取值通常在一定的范围内才符合物理问题的实际情况，通过数学方法直接得出的部分结论很可能没有实际的物理意义.所以，得出结论之后的验证过程必不可少.分析物理问题时还是应以实际物理情境为前提，数学只不过是解决问题的方法和手段，要避免将物理问题纯数学化.