闭合电路的最大功率问题归类探析

熊耀华

物理概念和物理规律是物理学的基石，是学生正确认识物理世界的基础，也是科学素养的重要组成部分.如何使学生在原有认识的基础上形成正确的物理概念和物理规律是中学物理教学的核心问题.闭合电路是高中物理电学内容的核心，也是电磁感应内容的基础，在高中物理课程标准和选修3-1教师用书中明确提出，通过《闭合电路欧姆定律》的教学要实现“知道电源的电动势和内阻，理解闭合电路中内外电路的能量关系，提高学生运用闭合电路欧姆定律分析问题的能力，会应用闭合电路欧姆定律讨论路端电压与负载的关系”的教学目标 .而用电器的功率是闭合电路中的经常碰到的一类典型问题，了解功率问题的原理与方法有利于现实生活中的节能减排，这对于当前能源紧缺的现实生活具有实际意义.就当前的教育评价体系而言，闭合电路中的各种功率问题往往综合了电路核心知识点，屡屡被用来考查学生的知识建构情况与问题分析能力，因此掌握闭合电路的最大功率问题的分析方法与解决思路，对于当前的物理教学也不无裨益.然而人教版教材中对于各种功率问题基本上是一带而过，并没有花笔墨区别各种功率问题.多年来纵观众多学生的错误解题过程不难发现，很多学生容易混淆“电源的最大功率”与“电源的最大输出功率”的科学概念，很容易将“定值电阻的最大功率”与“可变电阻的最大功率”的解题方法张冠李戴.而正确理解物理概念是学习物理的基础，掌握物理问题解决方法是精通物理的关键，因此梳理闭合电路中的各类功率的物理核心概念及解题方法、建立方法模型是非常必要的.本文试图将闭合电路中的各种功率概念及问题解决方法进行归类探析并找出方法模型，帮助学生快速掌握物理概念，建立方法模型，形成问题解决能力.

1电源的最大功率问题

电源的功率是P电源=EI，由于电源电动势E一定，故只要电流I有最大值时就有电源最大功率.由闭合电路欧姆定律有I=ER+r，故当R+r最小即R=0 （即将电源直接短接）时有最大电流Imax，此时电源功率有最大值P电源-max=E2r，此时电能全部转化为电源内阻r的内能，由于电源内阻r一般很小，故此时电源的热功率较大，电源发热厉害，很容易烧毁，这就是电源为何不能短接的根本原因.

2电源的最大输出功率两类问题和一般性条件

电源的输出功率是指电源的路端电压U与干路电流I的乘积即P=UI，根据能量守恒电源输出功率也等于电源的功率与电源内阻消耗的热功率之差即

P=EI-I2r.

（1）无定值电阻的纯电阻电路

如图1所示，电动势为E，内阻为r，滑动变阻器R.对于此类无定值电阻的电路，其电源最大功率的求解可以从负载R及电流I两个角度分别利用数学知识进行求解.

①从负载R的角度求解

电源的输出功率：

P=UI=I2R=（ER+r）2R=E2R（R-r）2+4Rr

=E2（R-r）2R+4r.

由上式可以看出，当负载电阻等于电源内电阻时（R=r），电源有最大输出功率Pmax=E24r；

当R

当R>r时，P随R的增大而减小；因此才可以定性绘出如图2所示的P-R图，对于每一个小于Pmax的功率P值总有两个电阻R1、R2.

这种方法是参考书常用方法，对于数学知识储备有限的高中生而言，只能定性地理解电源的输出功率P随电阻R的变化关系，不能精确地描绘出P-R图象，因而由P-R函数表达式过渡到P-R图的直观化表达具有一定的思维跳跃度，而这一阶梯往往成为学生理解的难点.为了有效化解这一思维难点，我们尝试从电流I的角度进行理解.

②从电流I的角度求解

P=P总-P内=EI-I2r（1）

由学生熟知的数学知识可知这是一个关于电流I的一元二次方程，其P-I函数图象如图3所示，对称轴为

I0=E-2（-r）=E2r，

此时电源有最大输出功率

Pmax=E·E2r-（E2r）2r=E24r.

再由R总=2r，及R总=R+r，可知R=r时电源有最大的输出功率.

结合图3学生比较容易理解：

当I=ER+r>I0=E2r时，电源的输出功率P随I的减小而增大；即当R

当I=ER+r≤I0=E2r时，电源的输出功率P随I的减小而减小；即当R>r时，电源的输出功率随R的增大而减小.

（2）含定值电阻的纯电阻电路

如图4所示，电源电动势为E，内阻为r，定值电阻为R0，滑动变阻器为R，其最大阻值为Rmax.为方便分析，我们接下来的几种类型的最大功率问题都采用这个电路图.

电源的输出功率

P=P总-P内=EI-I2r，

由（1）式可知，理论上当R总=2r，即R+R0=r时电源有最大输出功率，然而电源内阻r与定值电阻R0的大小关系并没有确定，因此在实际问题中需要分情况讨论：

若定值电阻R0≤r，则当R=R0-r时电源有最大输出功率Rmax=E24r；

若定值电阻R0>r，则由P-I图象可知当I=ER0+r+R靠近I0=E2r时有最大输出功率；

而R0+r+R>2r，功率随R0+r+R的增大而减小；

故当R=0时电源有最大功率Pmax=E2R0R0+r；

当R=Rmax（即I=ER0+r+Rmax）时电源有最大输出功率Pmax=E2RmaxR0+r+Rmax；

（3）电源最大输出功率的一般性条件

以上讨论的都是纯电阻电路中电源的最大输出功率问题，那如果外电路是含电动机的非纯电阻电路，其电源的最大功率又该如何求解呢？

如图5所示，电源电动势为E，内阻为r，AB两点间的电路可能含有电动机，设路端电压为U，则电源的输出功率为

P=IU=E-UrU=-1r（U2-EU）

=E24r-1r（U-E2）2.

故当U=E2（即当R外=r）时电源就有最大输出功率Pmax=E24r，但在一些具体电路中无论怎么调节外电路也不能实现U等于E2.从上面（2）的分析即可看出此结论的成立并不是对所有的电路都成立.不过我们还是可以得出电源最大功率的一般性条件：对于所有的电源电动势为E、内阻为r的电路（含非电阻电路），只要能通过调节滑动变阻器R能实现U=E2 （即R外=r）时，则当U=E2 （即R外=r）时，电源有最大输出功率Pmax=E24r，如不能实现R外=r时，只有当R外满足R外-r的绝对值最小时电源有最大的输出功率.

3定值电阻的最大功率问题

对于定值电阻的最大功率问题，我们可以采用“电流最大法”.如图4所示，定值电阻的功率为：

P=I2R0=（ER0+r+R）2R0，

故当滑动变阻器R=0时，定值电阻有最大功率

Pmax=E24（R0+r）.

4可变电阻的最大功率问题

如图4所示，我们可以采用等效电源法，可变电阻R的最大功率实质上与等效电源（E，R0+r）的最大输出功率完全相同（如图6），因此可变电阻的功率为

P=P总-P内=EI-I2（R0+r）；

若Rmax>R0+r，则当R=R0+r时电源有最大输出功率Pmax=E24（R0+r）；

若Rmax

Pmax=E2RmaxR0+r+Rmax.

综上所述，对于闭合电路的最大功率问题，首先应分清楚是纯电阻电路还是非纯电阻电路；其次应明确是求哪个元件的最大功率.然后再采用相应的方法：

（1）电源的最大功率问题、定值电阻的最大功率问题采用“电流最大法”.

（2）电源的最大输出功率问题（含非纯电阻电路）采用“函数分析法”.

（3）可变电阻的最大功率问题采用“电源等效法”.