小学数学教师如何处理学生计算错误的研究——以两位数乘两位数为例

孙兴华，马云鹏



小学数学教师如何处理学生计算错误的研究——以两位数乘两位数为例

孙兴华，马云鹏

（东北师范大学教育学部，吉林长春 130024）

在计算教学中，学生会出现各种错误，这是每一个小学数学教师所要面对的，基于此，如何处理学生的计算错误就显得尤为重要．研究关注小学数学职初教师与专家教师在处理学生计算错误过程中的表征异同，包括对学生计算错误的归因，纠正学生计算错误的教学策略．最后比较分析两类教师关于理解学生错误的知识．

计算错误；错误归因；纠正策略

在数学学习过程中，往往伴随错误的产生，过去教师常认为学生出错是因不小心或误解题意．但认知心理学的兴起，给研究者提供了新的视角，数学心理学的研究指出，学生在学习时会主动建构所学习的材料，也会在建构的过程中产生错误．很多教师认为学生犯错误是日常教学中一件很平常的事情，殊不知越为人们习以为常的事情却有独特的研究价值[1]．自20世纪80年代以来，有关数学教育中学生错误研究的国际研讨会已召开多届，至今学生错误的研究依然是研究的热点．错误在数学中和正确的答案一样重要，有时候要有过之而无不及．错误帮助了数学的发展；错误帮助人们了解数学的来龙去脉；错误可作为诊断工具，让人们能了解学生心理可能的想法，其错误并非漫无目的发生，而是有其理由[2]．学者研究也指出，对学生学习的错误性质及类型分析，有助于教师进行有效教学策略的设计，因而关于错误分析的研究是一个永恒的主题．

在计算教学中，学生会出现各种错误，这是每一个小学数学教师所要面对的，已有研究发现，教师十分重视学生的分数，重视学生的学习结果，从而导致教师对学生错误的认知标准是看结果，而不是看过程[3]．基于此，探讨小学数学教师如何处理学生的计算错误就显得尤为重要．研究关注小学数学职初教师与专家教师在处理学生计算错误过程中的表征异同，包括对学生计算错误的归因，纠正学生计算错误的教学策略．基于小学数学计算教学的实践，收集两类教师对特定内容学生计算错误理解的资料，进行质的分析及讨论，比较分析两类教师关于理解学生错误的知识，为小学数学教师学科教学知识的发展提供思考的视角．

1 文献探讨

对学生错误的分析是教师重要的专业能力，这种能力对于教学起着很重要的作用．这是因为有效的数学教学要求教师了解学生知道什么以及需要学什么，然后促使并帮助他们学好，教师必须知道学生通常在理解上有困难的数学概念，并掌握如何帮助学生克服常见错误的方法[4]．Even & Tirosh （1995）的研究指出，教师不仅应该有关于学生某种错误存在的知识，更应该有关于这些错误为什么存在的知识[5]．也就是教师不仅知道“是什么”和“如何做”，而且还要理解学生“为什么”会这样做．这说明，教师知识不仅包括对学习内容的本质理解，还包括对学生多种思维方式的理解．

Ball的研究团队发现教学需要教师拥有大量的知识，但是这些知识又是从事其它职业的人员所不需要的，只有教师才需要，其中一项就是分析学生的数学错误的知识，她在研究中给出了一个计算的例子[6]，这个例子是关于整数退位减法的内容，是学生学习中一个非常普遍的错误：307-168= 261，所有小学数学教师都能立刻指出学生算错了，这种判断并不需要专门的知识就完全可以做到，是其他任何人只要会计算就能知道261是错误答案．但是，从教学的角度来看，分析这个错误要比判断一个错误的答案复杂得多．好的教学要求教师能在看到学生错误的一瞬间，就能分析出学生错误的原因，并能用适当的策略加以纠正．

马立平以多位数乘法123×645为任务情境，比较分析了中美教师处理学生错误的异同[7]．研究发现两国教师都认为，学生在进行多位数乘法时将中间步骤的乘积错误排列，是数学学习中的一个问题，且这不是粗心引起的．教师对于该问题的认识，与他们关于该内容的数学学科知识相一致．大部分美国教师关于该内容的知识理解是过程性的．相反，大部分中国教师表现出了概念性的理解．

综上所述发现，数学教师的工作具有一定的特质，需要掌握其他职业所不需要的数学推理的知识．尽管数学家也常常分析错误，但他们大多是因为自己的研究出现了问题．所以，分析学生的数学错误和数学家所做的既有联系又有区别．并且，因为这样的错误常常发生在课堂，要求教师分析学生的错误必须迅速及时，而对数学家却没有这样的要求．另外，上述几位学者在研究中都运用了教师专业知识的研究工具——假想数学任务情境，为研究在方法上提供了借鉴．

2 研究设计

2.1 研究对象

研究的样本包括专家教师与职初教师，两类教师各选取60名，样本的选择标准如下：（1）专家教师选取特级教师、省级学科带头人、省级学科骨干教师．（2）职初教师选取教龄4年以下（含4年）的教师．

2.2 研究工具

研究工具是为教师出示数学任务情境，数学任务情境是评价教师知识常见的方法之一，用于评价教师知识的数学任务情境可以是书面的问题，也可以是口头访谈的一部分．书面测试和访谈相结合的方法，可以帮助研究者深入了解教师知识的程度．

任务情境是两位数乘两位数的笔算，是整数乘法的核心内容，从计算难度上来说，学生已学习两位数乘一位数，在写积时如果有进位，可以先在旁边作寄存0的标记，而计算两位数乘两位数，求第二部分的乘积时由于没处寄存0的标记，从而加大了学生的思维难度，另外第二部分的乘积如何记录到准确位置也是一个难点．两位数乘两位数的笔算是学生学习乘法的一个特殊阶段，是一个质变的过程，因为，再往后无论乘数是三、四位数的乘法，都只是一个量变、类推的过程．乘法的计算策略跟加减法比起来略显复杂，这是因为对乘法而言，计算时要掌握将数字分成好几个部分的弹性做法．这种分配性在乘法计算中是一个非常重要的概念，例如25×6，有的学生会把25分成20和5，将每个部分都乘6，再加起来得到答案，学生在学习乘法时需要发展这样的概念，才能把整数乘法做好．数学任务情境如下：

2.3 数据收集

研究采用质的研究方法进行数据收集．运用Vygotsky的微衍生法（micro-genetic）的观念[8]，分两阶段收集，第一阶段收集学生错例，到4所学校把学生学习两位数乘两位数出现的错误收集上来，根据学生出现的错误选择代表性的例子，整理出上述数学任务情境．第二阶段让被试教师书面回答假想任务情境的问题，同时运用放声思考法（think aloud）收集两类教师的真实想法，详细了解教师运用怎样的教学策略处理学生的错误．使用以上方法进行数据的收集，力求此项研究能具备完整性及客观性，并具有深度研究的特质．

3 研究结果与分析

3.1 错误归因

事实上，正确诊断出学生的问题所在，才更有利于选择合适的表征帮助学生释疑．在分析学生出现这样错误的原因时，专家与职初教师都能给出相应的错因，整体看，给出的错误归因包括两类，一类是深层结构错因，另一类是表层结构错因．如图1，显示了专家教师解释错因更多的是深层结构错因，而职初教师解释错因更多的是表层结构错因．

图1 专家与职初教师对错因解释的情况

3.1.1 深层结构错因

深层结构错因主要是指从具体题目涉及的数学本质分析，这一任务主要是从位值和算理的角度讨论计算的错因．

（1）位值的理解．

在深层结构错误的原因中，专家教师和职初教师都给出的一个因由是学生对位值理解还不够．但从给出的解释看，两类教师对位值的含义理解是有所不同的．

①职初教师：强调位值中“位”的理解．

职初教师理解更多是如何数位对齐？强调记住计算的规则，是以过程为出发点对“位值”的理解，更侧重于对位值的第一个字“位”的理解，将其理解为数字的位置，即职初教师其实更多是强调数位，比如老师给出如下典型解释：

学生错的主要原因是对位值制理解不够，看见5，却忽略了这是十位上的5，算出的结果130的0应对齐十位来写，哪一位与26相乘，积就应写在哪一位的下面，乘法计算时应保证数位对齐．

像上面这样职初教师的解释更多的是关注数位，并没有关注在这些数位上的数值，他们认为学生只要能分清数位，就知道对齐这个数位写结果数．认为乘法计算应按顺序进行数位对齐特别重要，访谈中他们也谈到在实际教学时，都会帮助学生总结出这样的算则：首先数位对齐，从个位乘起，用第二个因数个位上的数去乘第一个因数每一位上的数，再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数每一位上的数，最后把两次乘得的积相加，每次注意积的数位对齐．可以看出职初教师对计算中位值的理解更倾向于程序性的理解，这种程序的理解就是数位对齐，所以更强调让学生记顺序，记位置，也就是只需要记住5×26对齐的是十位，至于为什么5×26要与十位对齐并没关注．

②专家教师：强调位值中“值”的理解．

专家教师理解更多是为什么数位对齐？强调对位值概念本质的理解，侧重于位值中“值”的理解，即在数的计算中，每一个数字所在位置代表的“值”．比如老师给出的典型解释如下：

26乘十位上的5，得到的是130个十，所以，130的0要对着十位写，学生出错是没明白第二个因数中的5表示的是5个一，还是5个十，也就是没明白竖式中的数位和数值之间的关系，所以应强调每一个数字表示的数值是多少．表面看计算的是26×5，但5在十位上，得到的是130个“十”，所以要对齐十位来写．

可以从上面专家教师的解释中发现，专家教师在分析学生错误原因时更多是从位值概念的本质理解去分析，为什么5×26的结果130要移位，而不是对齐个位来写，在给出的理由中都强调“5”在十位上，表示的是5个十，5个十乘26得到的是130个十，因此应对齐十位来写结果数．在访谈中有56%的专家教师表示要想让学生真正理解算理，前提必须先有位值的概念．专家教师“对一个数字在不同的位置代表什么”有着深刻理解，并认为只有学生正确理解位值才能理解算理，掌握算法，因此教师本身对位值概念的理解会影响其教学的想法．

（2）算理的理解．

任务情境在访谈中重点关注了教师对多位数乘法算理的掌握，访谈的问题是：两位数乘两位数的算理是什么？专家教师和职初教师对算理理解的情况也表现出很大的不同．专家教师都能说清两位数乘两位数的算理，主要是运用概念与运算律说明算理，概念是指运用位值概念，运算律是指运用乘法分配律．职初教师很多教师表示不太清楚，即便给出解释基本是把算理和算法混淆了．

①家教师：知其所以然．

60名专家教师中有48名教师对两位数乘两位数算理解释利用位值概念，很多专家教师都用下面的直式与说明解释了两位数乘两位数的算理．

所有计算方法都和位值的理解有紧密关系，这些数感和计算方法不可能在没有对位值明确理解下而发展．专家教师在用位值解释这道题的算理时亦表达出这种观点．John对于位值的理解提出了几个观点，其中与计算相关的有两个方面[9]．

一个数的数字位置代表它所呈现的值——每个数字的位置都有不同的大小和名称（例如87的“十位”数字是8，“个位”数字是7），这是位值计算主要的原理．

一、十、百所形成的群组，可以不一样的方式呈现．例如，256可以是1个百、14个十与16个一．使用弹性的方式去做数的合成与分解，是计算时很重要的技巧．

可以看出专家教师在解释时是通过位值的概念理解整数乘法的算则．他们认为位值教学是隐含在数与运算的教学中，在教材中并不是独立的学习内容，但是在整数的认识与运算中都隐含了位值内容在里面．因此教学中要通过理解运算的算理强化位值概念．另外，他们也认为数的认识一直在强调位值，学生并不感到困难，因此在计算中用位值概念说明算理也有利于学生理解．

60名专家教师中只有14名利用乘法配律解释了两位数乘两位数的算理，他们运用下面两种形式说明．

专家教师认为这个乘法算式是将几个计算步骤合在一起成为一个简便的算式，因此在理解时可以拆分算再合起来，是一种“分割”策略，所有分割的策略都要依赖分配律的性质．将数分割的方法也反映对十进位概念的理解．对这种表达方法专家教师认为，整数乘法既要强调位值，又要强调分配律．

在这里专家教师也谈到26×50=1 300中最后一个0省略问题：他们认为不管0出现在哪，只要出现在计算中，就容易产生特别的困难．学生也会常常纳闷，为什么0可以省略？关于0在这里省略的想法，他们中有一半的教师认为学生可以写，学习熟练之后觉得麻烦就简便写．另一半教师认为省略0在说明26乘5个十是130个十说明就可以，因为通过数位对齐这个0当然可以省略．

②职初教师：不知其所以然．

60名职初教师中，只有7名教师对于两位数乘两位数的算理给出了正确的解释，这7名教师之所以能给出正确的解释是因为他们做过这节课观摩教学，有专家教师帮助其备课，并且重点给他们说了如何帮助学生理解算理掌握算法，正因有过这种经历，他们的解释正确．其余53名教师在表述上算理与算法没有分清，更多的表述是计算程序与步骤，典型解释如下：

第一步算26乘3，第二步算26乘5，个位上的3乘得的结果就写在个位上，十位上的5乘得的结果就写在十位上，再把两个积相加．

可以看出职初教师对于算理与算法没有分清，他们认为运算程序与步骤就是算理．他们更多的说明怎么算，而没有说明为什么这样算？访谈中他们有41%老师这样的表达：计算就是一个熟练的过程，算理讲得再清楚，学生计算时也不会去想算理，计算的过程与方法才是最重要的．他们说这种观点来自自己小学时学习过程的体验．从这点也反馈出我们在数学计算教学中对于算理的理解并不够重视，更多的是在计算法则上强化．

3.1.2 表层结构错因

有27%的专家教师和73%的职初教师给出表层结构错因．可以看出职初教师对错因的分析更集中表面现象上，而27%的专家教师给出的表层错因与职初教师也有所不同．

①专家教师：表层结构错因并非单一．

27%的专家教师给出的错因并非单一的错因，都是结合深层错因进行说明的，例如：

我想学生可能没理解整数乘法算理，也可能是由于上课没注意听讲造成的．如果是极少学生这样错，可能来自学生的原因多一些，如果出错的人数比较多，可能是老师的教学有问题．但无论怎样，这样的错误是没有理解5×26，其实表示的是5个十乘26，得到的是130个十，所以应对齐十位来写．

从以上专家教师表达可以看出，对于表层结构错因的说明，并不是唯一的想法，他们是根据自己的教学出发，认为学生出错有各种可能，因此对学生出现的错误会做综合的分析，他们对学生错误的诊断也体现出其学科教学知识理解的深度，比如会提到没有运用估算进行验算，在乘法这个内容教学中对结果进行估一估是非常重要的，能联系相关知识点对内容进行剖析，这也反映出教师的学科知识影响着教师对学生数学错误的看法．

②职初教师：不能从本质上找错因．

73%的职初教师给出的都是表层的错因，不能从数学的本质观点来分析错因，只能做简单的表面归因，典型解释如下：

我认为出错与训练少有关，只有多做题多训练才能帮助学生改正错误，出错原因也可能是学生做题不认真，做完后又没进行检查，所以没发现130写错了位置．

可以看出职初教师对于数学学科知识的理解是不够的，他们不能用联系的观点对数学知识进行剖析，也不能从数学的高观点来分析内容，难以准确认识到具体计算的错因，因此也就不能从数学知识角度进行具体的分析，也显示出其有关学科教学知识方面的欠缺．

3.2 纠正策略

由于学习从总体上看主要是一个顺应的过程，而不是知识的简单积累，因此，如何去纠正学生的错误，在数学教学中具有十分重要的意义．教师如何帮助学生纠正错误，消解学生的错误想法，在很大程度上依赖于教师自己关于这个内容知识的掌握与理解．通过前面的分析发现专家教师与职初教师对这个内容理解程度有差别，这也导致两类教师纠正策略方面很大不同．

3.2.1 专家教师：聚焦与多样

在对学生的数学错误的纠正上，专家教师表现出能针对特定内容与学生特点，给出多种可行纠正策略的特质．专家教师纠正策略主要是乘法的“完整的数”、拆分、面积模型、桥梁性情境等．

（1）乘法的“完整的数”的策略．

采用的不是将数拆分的方法，而是依照以前学过的乘法意义，将数看作单一组的集合，26×53即53个26相加，然后从乘法的意义角度理解有50个26，而不是5个26．典型的解释如下：

如果这个学生确实对竖式理解很困难，我会按下面3步解释：

①让学生解释26×53表示的意思，是53个26相加；

②然后让其写出加法算式，理解50个26；

③进而与竖式对照，让其发现他算了50个26，而不是5个26，得出十位上的5表示的是50，所以算出的结果末尾要和十位对齐．

专家教师在访谈中提到，这种方法更适合那种学习理解比较困难的学生，他们在前面的学习中可能对乘法的意义以及位值都没能很好的理解，直接面对竖式去解释对他们有一定困难，因此需要退回到乘法的原点去解释．

（2）拆分的策略．

拆分的策略几乎是所有专家教师都会选择的一种策略，是学生已学习过的一种口算策略，例如前面学过27×5，可以运用拆分策略口算，20×5+7×5=135，所有的拆分策略都要依赖分配律的性质．专家教师对这种策略都做了详细的说明，如：

先让学生明确26×53可以分成两个算式，一个是26×3=78，另一个是26×50=1 300，再把两个积相加78+1 300= 1 358，写成竖式时，进一步明确第一个积是78，7个十和8个一分别对齐十位和个位，第二个积是1 300，也就是130个十，可以写成1 300，但为了简便，可以省略0，130个十要对齐．

专家教师都认为拆分策略是最基本最适用的策略，是因为在前面学习乘数是一位数的乘法及口算乘法时一直在用，运用学生已有的知识很容易迁移过来，也很容易理解和掌握．

（3）面积模型．

有两位专家教师给出了如下的面积模型．

两位专家教师都讲过两位数乘两位数公开课，他们都用到了数形结合的方法帮助学生理解两位数乘两位数的算理，用长方形格纸让学生操作理解，其实本质上这种方法是前面的拆分策略，但运用十进位模型来填满长方形，会更加直观，而这恰好是心算运作的方式．操作时可以在十进位格纸上画上长方形或是可以用十进位的单位纸将全部的长方形填满，会有4个结果对应到4个不同的区域的长方形．他们也强调在运用这个面积模型时要注意语言的表述，如2个十乘5个十是10个百，应避免强调用数字的想法说2×5而舍弃数的想法，要强调十乘十等于一百的想法．可以看出面积模型这种表征方式的本质还是乘法计算中最重要的分配性，只是运用这种表征能直接反映出竖式的计算过程，学生能从图中找竖式计算的步骤，并找到竖式中每一个数据在图中的相应位置．将“冰冷”的算法和“神秘”的算理深层次融合，让学生清楚感受到“法中见理，理中得法”．

（4）桥梁性情境．

有5位专家教师都提到运用真实的问题情境，这个情境要具有桥梁性，首先让学生获得直觉，然后整合乘法计算，再从事实中发现有帮助的算法．典型的解释如下：

我想可以创设情境，赋予算式现实意义，比如每本书26元，买53本多少钱？计算时，理解为3本的钱数加上50本的钱数，3本的钱数就是26×3，50本的钱数就是26×50，合在一起就是一共交的钱数．学生在日常生活中经常接触到钱币，会很容易理解，通过这种事实让学生明白计算时不是26×5，而是26乘5个十，因此对于这样的题应鼓励学生自主探索解决问题，不是把26×53当计算方法教，而是当作问题解决更好．

Hart & Sinkinson（1987）认为，许多儿童在具体的活动与数学的形式化之间的连结会有许多困难，他们建议以搭桥（bridge）的过程，来解决这个问题[10]．已有研究也表明：文字题的结构也能增进运算策略．这5位专家教师运用了两类故事情境，一类是前面提到的买东西钱币的运用，另一个类是学校学生做操站队的队列，这两个事实都是学生熟悉且易于理解的，因此专家教师是通过找一个有帮助的事实来搭桥，以帮助学生理解运算策略．这种桥梁性故事情境有助于学生做一种连接，通过事实把运算与位值连结起来，有助于学生理解算理．并且，“情境—问题”教学能够有效实施，避免“去数学化”的倾向和偏离教学目标，离不开数学教师所具有的与之相适应的专业知识[11]．

除此之外，也有专家教师在竖式表达上给出了帮助学生纠错的方式，如下：

（a） （b）

利用数位图，把每一次乘得的积记录下来，两位数乘两位数其计算过程其实就是两个部分积的错位叠加的过程，如何叠0是其教学之难点和关键，因此先可以如上图（a）那样将所有乘的积写下来再相加，这也是最好的心算运作过程，而且容易帮助学生理解进位，理解为什么可以省略0的问题．

专家教师的纠正策略是多样的，专家教师也说明自己常会用多种方法和方式纠正学生的错误，纠正时或以个别辅导形式，或全班集体纠正．从上面给出的策略可以看出，他们的策略能针对特定错题内容，甚至考虑学生的特点，有针对性的选择策略与方法．新课程改革之后，给教学带来了很大的改变，比如运用面积模型策略的专家教师就表示：这种多样的策略来自课程改革之后教材与教学发生的变化，现在的教材和教学从学生学的角度出发想得要多一些，所以会想到用这样直观的策略更有利于学生的理解．从专家教师的错因分析与纠正策略可以看出，作为一名数学教师不仅需要数学知识和一般的教学法知识，还需要知道关于某一数学内容该如何组织和呈现、学生是怎样学习这一数学内容的、可能会遇到什么困难等方面的知识，因为即使是数学知识非常丰富的人也完全可能十分匮乏这些数学教学知识，这就是我们常说的，懂得数学是一回事，教数学又是另一回事[12]．

3.2.2 职初教师：泛化与单一

职初教师在纠正本题策略时呈现出泛化与单一的特点，不能针对学生的数学错误提出合理的纠正策略；或能针对学生的数学错误提出纠正教学策略，但针对性不强；或能针对学生的数学错误提出切实可行的纠正的教学策略，但策略单一不详细．

（1）缺少数学属性的纠正策略．

有14名职初教师给出的纠正策略是没有针对性的，只是泛泛的给出策略，这些策略对消弥学生的错误，缺少具体直观的数学属性，典型的解释如下．

以改错题的形式呈现在黑板上，由学生自己发现错误，并将正确计算写在黑板上．

会先让学生再重新把两位数乘两位数的计算法则复习一次，如果还是不太明白，就发挥同伴的作用，让同学再教他一次．

在访谈中，他们对计算错误看法都有这样的一致的表达：平时学生出现计算错误，就是让其自己改，一遍改不对再改一遍，直到改对为止，没想过要从老师的角度加以纠正，因为觉得学生出这样的错是因为其不用心或没注意听讲造成的，所以都会让其自己改或强化练习．从这点可以看出职初教师纠正学生策略的选择受其错题归因的影响．

（2）强化数位：5在哪一位？

有41名职初教师给出了纠正的策略，但策略都比较单一不详细，更多的是从数位来进行说明，比如：会强调运算法则，用什么位相乘就对齐什么位写结果数，用5去乘，5在十位上就对齐5写积．这41名教师都讲过乘法计算，对于计算的教学他们认为法则很重要，就是每一步算什么，积对齐谁来写，学生只有记住法则多加练习，才不会出错．同时也看出上述的解释也因应了前面他们对错误的归因，他们认为是学生在数位上出的错，因此应在数位方面加以强调，特别是针对这道题，是5去乘，应明确5在十位上，所以结果对齐十位写．他们并没有从位值的本质意义给出策略．

有9名职初教师给出了拆分的策略，这9名教师中有7名教师讲过这节课的观摩教学，有资深教师指导过，所以对拆分策略说明非常详细，另外两名教师并没有讲过这个内容，但也能很好的用拆分策略加以解释，主要是因为他们是某师范大学小学教育专业的毕业生，在教法课上，听老师讲过类似的案例．从这9名教师可以看出，职后对初任教师的有效指导，职前对教师基于学科背景内容课程的开设与培养，对于职初教师的教学是有影响的．

4 讨 论

4.1 对特定内容理解：“蛛网式”的理解结构和阶层式理解结构

通过分析两类教师对学生错误的归因及纠正策略发现，对于两位数乘两位数的内容，专家教师与职初教师的反应是不一样的，主要体现在对内容的理解的建构．专家教师对两位数乘两位数理解结构是“蛛网式”，如图2．

图2 专家教师对两位数乘两位数“蛛网式”的理解结构

专家教师能够把与两位数乘两位数有关的知识组织和连结在一起，这些联结形成了一个概念框架，类似于一张“蜘蛛网”，把特定内容知识组织在一起，这样的理解是对基本数学的深刻理解，便于提取和应用，职初教师对两位数乘两位数的理解结构是阶层式结构，如图3．

图3 职初教师对两位数乘两位数“阶层式”的理解结构

职初教师对于这个内容错误归因更强调数位对齐，而纠错非常依赖步骤和强化练习，缺乏对概念性的理解．对两位数乘两位数所涉及内容的理解是分离和孤立的，因此，帮助学生纠错的策略也比较单一．

可以看出专家教师的一些解释是非常难能可贵的，因为他们真正深入到了学生的思维内部，从而能对学生的数学错误进行了比较到位的分析，这与他们对内容的理解有关．理解涉及建立联系．“如果我们能够清楚一些知识是怎样与我们已知的知识建立联系和联结的，我们就说我们理解了这些知识．”[13]在对职初教师的访谈中发现，他们对于位值、乘法的意义、乘法分配律、两位数乘一位数、两位数乘整十数都知道，但他们都把这些内容作为单独学习的一节课的内容来看待的，因为这些内容在教材上都有编写，对于这些内容他们并没有和本节课所要学习的内容进行很好的建立连结，也就是没有把新的知识与已有的知识建立很好的联系．另外，职初教师对于位值概念和积的处理在理解上不够深入，对于位值只关注“位”，对积的处理中“叠0”和“省0”只是机械知道．

专家教师对两位数乘两位数“蛛网式”的理解并不是把涉及的知识点做简单意义上的联结，而是围绕运算理解两个重要维度：运算的算理和运算的方法做内化加工，内化加工的过程是基于两位数乘两位数的内容作展开与压缩，如图4所示．

图4 专家教师对两位数乘两位数内容联结的建构

专家教师会基于内容理解，找出这个内容的重点与难点，然后对具体内容展开，在展开理解的基础上进行抽象压缩，可以看出专家教师对特定内容的理解其实是把所涉及的相关知识点做了组织处理——展开与压缩，这个展开压缩的过程越清楚、连结得越好、越综合，对特定内容的教学处理就越有变化和深度，对学生错误的反应也越自信和理性．

4.2 为什么制造认知冲突的策略缺失

事实上，学生对数学的理解是一个反复组织的建构过程．当学生遇到困难的时候，就要停下来，折返回去，将尚薄弱的认识再作建构，满足进一步发展的需要[14]．从建构主义的立场去分析，学生的错误不可能单纯依靠正面的示范讲解和反复的练习得以纠正，而必须是一个自我反省的过程．因此，为了帮助学生纠正错误，教师就要思考如何促进学生发现自己的错误所在，引发“观念冲突”．对于学生的错误，能清楚的让学生知道他那样做是不对的，就能制造学生的认知冲突，以引起学生认知上的不平衡．再由学生去指出问题，让学生去说明思考这个错误算式是如何产生，使学生更能迅速的理解并融会贯通．所以制造认知冲突让学生发现错误很关鍵．

从调查中发现，所有被调查的教师中，只有两名专家教师明确提到，面对学生的错误，首先应帮助学生自己发现错误，因此应提供认知冲突的策略，这两名专家教师提供的是估的策略：

通过估算让学生知道20×50就等于1 000，26×53肯定应该大于1 000，这个题算错了，错在哪呢？再引导学生关注题目中的5表示什么？

可以看出，在如何引导学生发现错误，制造学生认知冲突方面，专家教师和职初教师在策略上都有盲点．之所以出现这样的问题，与教师对待学生错误观念有一定影响，无论专家教师和职初教师他们都认为帮助学生改正错误，不再犯这样的错误是重要的，“改错”是他们对待学生错误的重心，至于如何引导学生“知错”，如何通过制造认知冲突的策略帮助学生发现错因，两类教师在访谈中也鲜少提及．他们通常的做法是让学生想想自己哪错了，并不会提供一些制造认知冲突的策略．

教师应如何使用正确的方法引导学生了解自己的错误概念，进而自我思考，建构正确的概念呢？针对如何自我建构概念方面，Cobb（1990）认为有许多的教学策略可以供教师采用，如：分组讨论、口语互动、交互教学等[15]．这些策略都强调教师只担负一部分的责任，也就是说，教师主要的工作是提供数学规则，然后引导学生从自我建构中发现自己的错误概念，进而建立正确的数学知识．其实教学中会发现学生对于自己的错误有时是无法自我觉察的，需要运用学生的错误解法制造认知冲突，让学生发现错误．前提是教师要有意识的运用策略制造认知冲突，对于这一点，两类教师在面对学生错误时都需要思考．

5 小 结

对于两位数乘两位数学生的错误，专家教师和职初教师都能给出错误原因和纠正策略，但在具体归因和纠错方面表现出的样态却有很大差别．专家教师表现出能理解学生数学错误的合理性，能从多角度丰富而深刻地解释学生数学错误的原因，剖析错误的性质，能针对学生的数学错误提出切实可行的多种纠正策略．相反，职初教师对于这个内容的理解以及给出的错因与策略缺少数学属性，泛化而单一．

对专家教师的分析发现：不仅有关于整数乘法特殊错误存在的知识，还有关于这些错误为什么存在的知识，以及多样的纠正策略，这和专家教师的阅历有关．因为运算错误分析是小学数学教学中的一种最常见问题，数学教师个体在日常的数学教学中，以日积月累的方式不断的体验和实践，会增进教师对特定教学内容的理解，从而形成一种对教学内容理解持续力，这种理解持续力会帮助教师不断对数学教学内容建立联系，促进教师知识的生长．

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[责任编校：周学智]

Study on How to Deal with Students’ Computational Errors in Primary School Mathematics Teachers——Taking the Two Digits Multiply Two Digits as an Example

SUN Xing-hua, MA Yun-peng

(Department of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

In the calculation of teaching, students will make all kinds of errors, this is the case every primary school mathematics teacher has to face. Basing on this, how to deal with the student’s calculation error is particularly important. The research concerns about the characterization similarities and differences in dealing with students in the process of calculating errors between novice teachers and expert teachers in the elementary school, including attribution of the students calculation errors, teaching strategies of correcting students’ calculation error. Finally, we compare and analyze knowledge of two kinds of teachers’ understanding of students’ mistakes.

computational error; error attribution; corrective strategy

G622.0

A

1004–9894（2016）05–0038–07

2016–04–09

教师教育协同创新中心总体设计的合作研究重大项目——高素质教师成长规律与培养方式变革研究重点研究课题——教师教育创新课程开发与教学设计（XTZX20130002）

孙兴华（1971—），女，吉林长春人，讲师，博士，主要从事课程与教学论研究．