小学低段数学符号意识的培养策略研究

李艳琴，宋乃庆



小学低段数学符号意识的培养策略研究

李艳琴1，2，3，宋乃庆2，3

（1．贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018；2．中国基础教育质量监测协同创新中心西南大学分中心，重庆 400715；3．西南大学数学与统计学院，重庆 400715）

培养和发展小学低段学生数学符号意识是发展学生数学核心素养的基础，是培养学生数学抽象思维的第一步．从小学低段数学符号意识的可操作性定义入手，结合学生的认知规律和教师的教学观，围绕小学低段数学符号意识的内涵本质特征，分别从数学符号的抽象、识记和应用去探讨小学低段数学符号意识的培养策略，这有利于小学生对数学符号本质的认识、理解和掌握，有利于小学生数学符号意识的形成和发展，这为学生符号意识的培养和数学抽象思维的发展提供了新的路径．最后通过微型教学实验验证该培养策略的可行性、操作性和有效性．

小学低段；数学符号意识；可操作性定义；培养策略

数学符号是数学科学专门使用的特殊文字，是含义高度概括、形体高度浓缩的一种科学语言，是应数学思维特点的需要而产生的理想化的科学书面语言[1]．《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）把对数学符号的认识、理解和运用作为数学学习的重要目标之一，并明确提出要发展学生的符号意识．对小学生而言，最先接触到的数学符号是数字符号，继而是运算符号和关系符号，它们是学生数学抽象思维学习的第一个门槛，是学生经历从具体到抽象表达的一个跨越，是数学学习的第一步基础，十分重要．可以说，小学低段数学符号意识的培养是发展学生数学核心素养的基础，是学生抽象思维的第一步，而且也是非常重要的一步．目前虽然学界有一些数学符号意识培养的研究[2~4]，但主要是从教师的情境创设、学生的学习兴趣去探讨有关培养策略，且对小学低段学生数学符号意识的培养策略研究几乎没有．有学者在《教育研究》上发表“法律信仰的特点、结构与培养策略”[5]一文，它从法律信仰的内涵结构出发去探讨培养策略给广大学者很大启发．因此，文章尝试打破常规数学教育中培养策略的研究范式，从小学低段数学符号意识的可操作性定义入手，即从符号意识的内涵本质特征入手去探讨小学低段数学符号意识的培养策略，这对数学教育甚至学科教育也许是一种大胆的尝试和培养策略研究方法上的创新．

1 小学低段数学符号意识的可操作性定义

《标准》对符号意识有明确表述，即“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性[6]．虽然《标准》并不是对符号意识的严格定义，但它对符号意识的作用和价值作出了明确的阐述．同时，《标准》对小学低段涉及到的数字符号、关系符号和运算符号等也提出了具体的要求．《标准》是教材编写、教学实施、考试评价的依据，也是对数学符号意识内涵认识的依据．

通过《标准》和教科书等文献研究，以及实证研究，已探析了小学低段数学符号意识的存在性问题、含义及其表现形式[7]．在内涵认识的基础上，通过实证，已初步构建出了小学低段数学符号意识行为描述的可操作性定义，即：一是从具体情境中抽象出数、数量关系和空间形式的属性，并用标准化的统一记号去表示属性；二是识别不同类型的数学符号，并能规范读写；三是知道符号所代表的含义；四是根据符号间的区别和联系，按照数学的规则对符号进行操作；五是运用符号表示数、数量关系和变化规律；六是通过对数学符号的运算和推理解决具体情境中的简单问题[8]．可操作性定义是对小学低段数学符号意识最本质的揭示，是小学低段数学符号意识内涵维度的具体表现，也是小学低段学生数学符号意识的培养策略研究的出发点．

2 小学低段数学符号意识培养策略的意义

小学低段数学符号意识行为描述可操作性定义的表现行为之一就是符号的抽象，而抽象是数学核心素养的基础，是公民抽象思维的基本素养之一．因此，小学低段数学符号意识十分重要，但长期以来人们对小学低段数学符号意识的培养是忽视的，认识上是有分歧的，这导致了对培养研究的不重视和不深入，甚至缺少对小学低段数学符号意识培养策略的研究．而多年来，教育界、数学教育界往往是从教师的教学观、学生的认知规律和学习兴趣上去探讨符号意识的培养，几乎没有从数学内容的本质特征去探析培养策略．如有学者提出要重视数学符号的阅读与理解、鉴赏与体会、探究与发掘等方面的培养[2]，有学者强调在问题解决中发展学生的符号意识[3]和在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义[4]．

从小学低段数学符号意识行为描述的可操作性定义出发去探析培养策略的新路径、新方法有着积极的重要意义．即从学习内容——符号意识的本质特征出发，结合学生的认知规律和学习兴趣，结合教师的教师观和情境创设去探讨培养策略的新途径．让学生能更好地认识、理解和把握符号意识的本质，从而达到更好的培养效果、学习效果．可以说，这种从小学低段数学符号意识可操作性定义入手的一种培养策略研究，改变了多年来从单一的教师或单一学生角度去探讨符号意识的培养模式．它抓住了符号意识的本质特征，能够让学生从本质上去认识数学的概念和性质，淡化了形式上的要求，抓住了数学内容的本质，体现了“淡化形式、注重实质”[8]的一种先进教育理念．它一方面能有效地促进小学生对数学符号的认识、理解和掌握，从而促进学生数学符号意识的形成和发展；另一方面，它构建了从可操作性定义出发，形成了从“学习内容、教师、学生”三位一体的培养策略研究的新路径．

3 小学低段数学符号意识的培养策略

根据小学低段数学符号意识的可操作定义，围绕小学低段数学符号意识的3个内涵维度（即数学符号的抽象、数学符号的识记和数学符号的应用）分别去探讨小学低段数学符号意识的培养策略．

3.1 小学低段学生数学符号抽象的培养策略

抽象是数学的特点之一，小学生数学入门就是对数的认识和运用，而数概念的形成是经过一系列抽象，舍弃了其它一切非数量关系的内容后，只保留了量的关系所抽象的结果．数字符号正是用来记录数量的符号，它本身是抽象的．可以说，数学符号的抽象是小学低段学生数学符号意识培养的基础，也是最重要的一步．小学低段数学符号抽象的培养策略是让学生从熟悉的生活经验出发，通过数学活动体会数学概念从“直观到抽象、从具体到概括”的生成过程，并积极引导学生用规范、统一、抽象的符号去表示抽象的数学概念．这一策略可以用以下例证说明．

一是强调学生熟悉的生活经验，让学生反复经历“从直观到抽象，从具体到概括”的认知过程，使学生能从具体情境中概括出有关数、数量关系的属性．以数字符号为例，如学生在“1~5的认识”的学习过程中，让学生反复经历1、2、3、4、5的抽象过程，即让学生反复经历从具体情境中概括出相对独立数的过程（如通过“农家小院”的情境图，说出1个老奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米和对2个食盘、2个筐、2只鹅等数量信息），并能从中抽取出共同的数量属性（如对1个老奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米的认识抽取出共同的、本质的数量属性“1”）．

二是积极引导学生用标准化的统一的记号来表示抽象出来的属性．如对概括出来的共同的数量属性“1”，学生可以用中国数字“一”或罗马数字“Ⅰ”表示，甚至学生可以自己创造符号，但由于数学符号要通用性、简洁性和美观性，因此要引导学生用统一的阿拉伯数字“1”去表示．

3.2 小学低段数学符号识记的培养策略

识记是所有学习的认知基础，也是所有学习中的重要认知环节，更是小学低段学生数学符号学习的重要途径，它包括对数学符号的认识、辨析、规范和记忆．对小学低段数学符号识记的培养是让学生对数学符号理解的“识记”而不是“死记”．小学低段数学符号识记的培养策略是让学生从形象感知上去识别不同类型的数学符号，并设计学生可操作的数学活动去理解符号的含义．这一策略可以用以下例证说明．

一是加强形象感知，让学生识别不同类型的数学符号，并知道符号的写法和读法．小学低段主要涉及的符号是算术符号．德国数学家希尔伯特曾说过：“算术符号是文字化的图形．”这也正体现了符号的另一个重要属性——形象性．以运算符号为例，如“+”号的产生[10]，传说当时买酒的人用线条“－”记录酒桶里的酒卖了多少，再把新酒灌入大桶时就将线条“－”勾销变成为“+”号，或画一个“+”号表示超重，画一个“－”号表示重量不足．久而久之，符号“+”给人以相加的形象，“－”号给人以相减的形象．在小学低段，还有其它这样的直观形象记号，如“=”、“>”、“<”、“×”、“÷”，以及认识图形中的被压缩的图形符号“△”、“□”、“○”等．除了对符号有形象识别外，规范地读写也是数学符号识记的重要内容．如在学习11~20的数时，知道由“1”和“2”两个数字可以组成数“12”和“21”，这时学生能正确读出“一十二”和“二十一”也是对数位和数的组成的进一步认识和理解．

二是重视数学活动，通过操作练习去理解符号的含义，从而更好地记忆符号．理解符号的含义是符号记忆的基础条件．对小学低段学生而言，常常是通过组织开放性的操作活动，让学生经历从具体到抽象、再从抽象到具体的认知过程来理解符号的含义．例如在认识数“3”时，学生是从中抽象出数“3”，再用3根小棍摆成熟悉的图形，这一过程包含了学生从具体的3只小鸟→抽象的数3，再从抽象的数3→具体的3根小棒的认知过程．在这个过程中，学生经历了从词义表征→动作表征→符号表征的转化过程，而操作练习是理解符号表征的重要途径．因此，重视从具体→抽象→具体的操作练习是小学低段学生理解符号含义重要手段，是实现符号意识识记的重要条件，也是下一步正确运用符号的重要基础．

3.3 小学低段数学符号应用的培养

应用是对所学的概念、法则、原理的运用，是所有学习的最高要求和最终目的．运用符号表示数、数量关系和变化规律是《标准》对符号意识提出的明确要求，也是培养和发展学生数学符号意识的最终目的．小学低段数学符号应用的培养策略是通过适当的纯粹数学符号的操作练习让学生去理解符号间的关系，在具体情境中去引导学生适当的符号表达和运用符号解决简单问题．这一策略可以用以下例证说明．

一是适当加强对纯粹数学符号的操作练习去理解符号间的关系，但又要克服单纯的符号操练．在小学低段，单纯的符号操练和模仿记忆是必不可少的，但不宜过多，教学中仅靠一些单纯的符号操练是难以达到理解符号的效果．如在○里填上适当的数学符号：4○6=24、9○18-(10+2)、56÷○=7、……，或一些纯粹符号的计算题，如4+9=□、32-9=□、……像这样一些纯粹符号的操作练习不易过多，只要达到学生理解符号并能区分它们的关系即可，要避免重复枯燥的操练．

二是联系生活情境，强化在具体情境中正确运用符号解决简单问题．如学生学习“+”、“-”运算符号时，需要经历不同的生活情境（合并气球、合并点子、合并铅笔等），从中体会把一类事物合并在一起的总数量问题用加法计算，从一类事物的数量中飞走、拿走、去掉等生活情境中体会还剩的数量问题用减法计算，并能正确运用符号算式表示整个事件，从而进一步体会加减法的含义．

三是适当加强符号表达，使学生初步体验符号可以进行数学思考．如在学习常见的数量关系的实际问题中，适当让学生经历写数量关系式→列算式的过程，体验符号表达的含义和使用符号进行数学思考．例：8元，56元可以买几个？该问题含有单价、数量和总价的关系，对二年级学生而言，在没有操作辅助的前提下，通过分析和理解数量关系，并联系除法去解决问题是比较抽象．因此可以尝试让学生先写出数量关系式：总价÷单价=数量，再列出算式：56÷8=7．在这一过程中，学生经历发现问题（问题中的总价、单价和数量之间的数量关系）、提出问题（运用符号抽象和表达问题）、分析问题和解决问题（使用符号进行运算和数学思考）的全过程，积累运用符号进行数学表达的活动经验，使学生的思维适度经历从文词→简词→符号的符号化过程，从而进一步促进数学抽象思维的发展，提高学生数学的推理能力和表达能力，为后续学习奠定良好的基础．

4 小学低段数学符号意识培养策略的微型实验验证

开展小学低段数学符号意识培养策略的微型实验，一方面是说明培养策略的合理性、操作性和有效性；另一方面是再次验证小学低段数学符号意识内涵维度（抽象、识记、应用）的合理性和可行性．下面是以二年级（上）《认识乘号》为例，分别对乘号的抽象、识记和应用3个维度开展4小节（每节20分钟）的微型实验实证，实验过程及内容也主要是对应数学符号的抽象、识记和应用3方面的培养策略来展开的教学．

4.1 实验对象

此次微型实验对象是贵阳市东山小学一年级（下）末的学生，共57人．选择该群体的理由：一是该学校学生数学成绩处于贵阳市中上层次，可基本确保实验数据的代表性；二是该实施对象是小学低段数学符号意识测评指标体系构建中的部分调查对象，保证了数学符号意识调查研究的连续性．

4.2 实验内容

（1）通过导学案让学生看图回答问题（见图1），并说出每个加法算式表示的意思；

（2）观察所列的加法算式，概括出每个算式中“加数都相同”这一共属性；

（3）引导学生用标准的抽象的乘号“×”来表示相同加数连加的加法算式；

（4）简单介绍乘号的来历和与加法关系，让学生从加号“+”形象地过度到认识乘号“×”，规范地读和写乘号；

（5）通过导学案中的摆一摆和画一画等操作练习，理解乘号“×”的含义；

（6）让学生用乘法去解决图1中的情境问题．

图1 导学案中的看图回答问题

4.3 实验效果

根据《认识乘号》的课堂小测去检测学生对乘号“×”的认识程度，从而验证小学低段数学符号抽象、识记和应用培养策略的有效性．课堂小测包括以下4个问题，及学生反馈情况见表1．

问题1：根据情境概括出加法算式中“加数相同”的特征，能用“几个几”形式表示；

问题2：根据直观图

概括出（ ）个（ ），写出加法算式和乘法算式；

问题3：对加法算式和乘法算式进行改写，如5+5+5+5改写成乘法算式、3×6改写成加法算式；

问题4：根据乘法算式2×6=12编写一道数学应用题．

以上结果表明（见表1），乘号的抽象、识记和应用3方面的正确率都在80%以上．由于实验对象是一年级（下）末的学生，他们还尚未正式课程学习“乘号”，在新人教版教材中学生正式学习“乘号”要在二（上）第四单元，而微型实验说明一年级下的大部分学生对乘号的初学都有较好的认识、理解和应用，说明这样的培养策略有利于学生对数学的认知，有利于一线教师课堂教学的操作和实施．因此，可以初步判断小学低段数学符号抽象、识记和应用的培养策略是可行、可操作和有效的．

表1 学生《认识乘号》课堂小测反馈结果统计

5 结束语

从小学低段数学符号意识行为描述的可操作性定义出发，结合学生的认知规律和教师的教学观，围绕小学低段数学符号意识的内涵本质特征，分别从数学符号的抽象、识记和应用去探讨了小学低段数学符号意识的培养策略．这有利学生对数学符号本质的认识和理解，更有利于学生数学符号意识的形成和发展，也为学生数学符号意识的培养和学生数学抽象思维的发展提供具体、可行和有效的培养途径．文章从小学低段数学符号意识的可操作性定义出发，探讨培养策略是一种研究方法上的创新，也是数学教育中培养策略研究的一次大胆尝试，难免有不成熟的地方，这里仅是抛砖引玉，期盼能引起更多教育工作者的关注和共鸣，为一线教师注重从数学实质进行教学策略的探索提供一种新的思考．

［参考文献］

[1] 徐品方，张红．数学符号史[M]．北京：科学出版社，2006．

[2] 王林全．发展学生数学符号意识的要领[J]．数学通报，1996，（5）：4-8．

[3] 史炳星，马云鹏．在解决问题的过程中发展学生的符号感[J]．数学教育学报，2002，11（2）：57-60．

[4] 綦春霞．浅谈新课程下符号意识的含义及其培养[J]．数学教学研究，2012，（1）：63-66．

[5] 徐淑慧，苏春景．法律信仰的特点、结构与培养策略[J]．教育研究，2016，（6）：97-103．

[6] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[7] 李艳琴，宋乃庆．小学低段数学符号意识的含义及其表现形式[J]．课程·教材·教法，2016，（3）：92-97．

[8] 李艳琴，宋乃庆．小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建[J]．教育学报，2016，（4）：23-28．

[9] 宋乃庆，陈重穆．再谈“淡化形式，注重实质”[J]．数学教育学报，1996，5（2）：15-18．

[10] 孙兴运．数学符号史话[M]．济南：山东教育出版社，1998．

[责任编校：周学智]

Study of the Strategies in Cultivating Mathematics Symbol Sense at Lower Elementary School Level

LI Yan-qin1, 2, 3, SONG Nai-qing1, 2

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Education University, Guizhou Guiyang 550018, China;2. Center of Southwest University, National Innovation Center for Assessment of Basic Education Quality, Chongqing 400715, China;3. Mathematics and Statistics Institute, Southwest University, Chongqing 400715, China)

Cultivating and developing mathematics symbol sense of students at lower elementary school level is the basis for cultivating students’ abstract thinking and an important step for developing students’ core literacy in mathematics. Starting with an operational definition of mathematics symbol sense and encompassing the content dimensions of mathematics symbol sense at lower elementary school, and combined with students’ cognitive regularity and teachers teaching view, this paper explores the strategies in cultivating mathematics symbol sense at lower elementary level from the abstraction, identification and application of mathematics symbols. It is conducive for students to understand the nature of mathematical symbols, and it is conducive to the formation and development of students’ mathematical symbols sense. It provides a new path for the development of cultivation and students’ abstract thinking. Through experimentation utilizing micro-teaching, the feasibility, operation and effectiveness of the cultivation strategies are verified.

lower elementary school level; mathematics symbol sense; operational definition; cultivation strategies

G622

A

1004–9894（2016）05–0028–04

2016–08–10

贵州省教育厅高校人文社科研究规划项目——专业认同理论视域下的贵州农村特岗教师专业发展研究（2015GH24）；2016年度贵州省科技平台及人才团队专项资金项目（黔科合平台人才【2016】5609）

李艳琴（1982—），女，贵州思南人，西南大学博士生，贵州师范学院副教授，主要从事中小学数学教育研究．