中国数学教育优势：隐性的代数教学设计模型

孙旭花



中国数学教育优势：隐性的代数教学设计模型

孙旭花

（澳门大学教育学院，澳门）

中国哲学的起源之文化独特性起源于《易经》，其根本哲学思想是以不变应万变，彰显了中国汉语字词和数系的构造模式之文化独特性，在表达形式上强调“以类合类”，渗透在中国数学文化之文化独特性，构造了强调类别的数学课程《九章算术》的原型，体现了中国数学教育的文化独特性，即突出强调不变元素（双基）和变异元素（变式）的数学教学思想框架，具体表现在“课程的问题设计”上，强调“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”的问题变式的结构，形成了最新代数发展理论模型——螺旋变式课程设计模型．这一模型将有助于从国际视野理解中国数学教育，也为代数的教育发展提供了独特的潜在的设计框架．

系统变式；中国数学教育；变式；合类；代数

现代数学是世界各地都统一的学科，内容和形式也是统一的，然而不同文化独特性却造就不同的数学教与学的风格、重点、传统．一般来说，在世界上有两种主要的数学传统．一个是希腊人的演绎传统，焦点于几何．另一个是从埃及、巴比伦、以色列、中国和印度的归纳传统，焦点于算术和代数．这两个传统反映两种不同类型的数学教育文化的传承．为什么会出现两个不同的数学文化？不同的数学文化是如何持续发展，互相借鉴的？前提是了解自己的优劣，然后进行优势互补．西方的几何演绎文化一直是数学教育的主流文化，东方的代数归纳一直处于非主流地位，那么它的优势是什么？研究将集中论述代数归纳文化的典型范例——中国的数学教育的传统及其文化的独特性所形成数学教育之文化优势．这里主要围绕：中国哲学的起源之文化独特性，是如何影响中国汉语字词和数系的构造模式之文化独特性，进而影响中国数学文化之文化独特性（最早数学教科书《九章算术》的构造原型），进而又影响了中国的数学教育的文化独特性的行程，最后基于以上中国数学教育之文化独特性，论述了背后所遵循中国式的理性和逻辑——螺旋变式课程设计模型．为了从国际视野理解中国数学教育之文化独特性，先从哲学，这个自然知识和社会知识的概括的总纲开始分析．

1 中国哲学的起源之文化独特性

哲学，就是研究客观世界上的一切普遍规律的科学，为人类认识、人类种族和人类社会的发展提供一切普遍适用的科学的认识方法和实践方法的科学[1]．一般可以简单分为两个主流：东方哲学和西方哲学．东亚和南亚的哲学被称为东方哲学，北非和中东及欧洲的哲学被称为西方哲学．东西方哲学有不同的传统，东方哲学强调整体的系统认知（Holistic Perception and Cognition），西方哲学侧重于局部的分析演绎（Analytic Perception and Cognition），即概念的抽象、推演，古希腊历来被认为是欧洲文明的摇篮，是欧洲乃至西方哲学的故乡．不同的侧重发展了两个数学分支：几何和代数（包括算术）[2]．中国哲学作为东方哲学的典型范例，起源于易经，一般认为是中国古代文化的源头，被称为五经之首[1]．其基本观念强调“阴阳”属性系统变化，形成动态平衡．从周朝开始，认为世界万物相互彼此作用相互联系变化统一性，慢慢形成华人社会本土广为接受的主流世界观，即“万变不离其宗，变中发现不变，以不变应万变”等本土信念体系，成为影响中国科学文化整体观的基本思想，也成为中国古代科学哲学指导思想之一[1]．这些信念存在于中国古典科学和数学起源的许多分支，也是当今中医的主要原理．与西医强调的解剖、分解是完全不同的哲学体系．

2 中国汉语语素的构造模式

中国文化哲学直接或者间接影响中国汉字构造模式，强调以不变的部首表征变化的文字．以类合类，以类通类为理念，把中国20 902个汉字，按照201个部首，即201个类别，表征所有汉字．虽然其他印欧语系也强调字根表征语言，中国汉字系统强调程度远超过其他文明圈，变成其汉语文化之独特性[3]．事实上，四大文明古国主要出现了以字母为基本元和以字和图为基本元的两类文字．其中古埃及、古巴比伦、古印度主要发展了“表声”语言，即强调语音的语言（如西方印欧语系The Abjad语系、Greek语系、Hebrew语系和拉丁语系）和“表意”语言，即强调结构的语言．中国汉字文化的最主要特征是“表意”（包括古代日本和韩国等东亚语系）．印欧语言一般仅是语音的编码；而中国语言是音、形、意的编码．这决定了汉语与英语及许多印欧语言最大不同点是构字思想——“以类合类”，即由“形旁和声旁”的不同类别形成“表意”模式，其中字词特别强调结构和联系，也强调“类别”．比如，女在左边的左右结构，如妈，妇，妞，娃；女在右边的左右结构，如汝，妆；女在下边的上下结构，如妻，妾，妿，委，娈，这类字属于“和女有关”的类别．中文造词，表现形式是“以类拓类”，比如说一个“女”字，可以造出：女性、妇女、父女、女子等复合词．这类词属于“和女有关”的同义拓展类，但是英文women，gender，lady，father and daughter，完全没有那个类别．再比如中文的花类：茶花、桂花、玫瑰花灯，而英文：camellia，osmanthe，rose；中文的星期：周一，周二，周三，而英文：Monday，Tuesday，Wednesday；中文的月份：一月，二月，三月，而英文：January；February；March；April等．和英文对照，直接反映出中国汉语语言的习惯，即词与词连接和类比，其基本思想是“以类合类”，实现简单易学的“以类别的基本意义不变，回应形式之万变”，即以类合类的“系统变式”模式．

3 中国数系的最早构造模式

“以类合类”这种中国汉语的语言习惯，其最为典型的表现在“数概念”的发展上，如十进制的位值数系．汉语以“零，一，二，……，十”为不变的基本类别，把十一，十二，……，十九迅速转变为以十为基本的关联类别，而“一十，二十，三十，……，一百”是以基本个位数的十倍为基础的“十类”变异类别，所有的数都可以表征分解和合成为基本个位数的类别，这充分显示了以类合类的语言习惯．与以西方字母表达为载体的语言体系有着本质的不同，例如，古代希腊数系（图1）中，每个数字用完全不同的字母表达，完全没有以类合类的思想．特别说明的是：古印度数系（图2、图3）也和希腊系统类似使用字母语言，也没有以类合类．

图1 古希腊的数系

图2 古印度的数系1

图3 古印度的数系2

至今广为流行的阿拉伯“十进制的位值数系”概念完全符合中国汉字表达习惯，是数学史上非常有趣的故事．1992年，兰丽蓉（Lay Yong Lam）和洪天赐（Ang Tian Se）证实十进制的数系和加减乘除运算法则．这个世界通用数字系统，起源于中国算筹的数字系统[4]．而罗马数系、巴比伦数系、埃及数系、印度数学的数系，在中世纪逐步被废除，目前全世界统一使用的十进制数系概念，事实来源于中国的十进制的算筹数系概念[4]，这一研究荣获了2000年世界历史研究的最高奖The Kenneth O. May Medal．目前虽然叫做印度阿拉伯数系的名字，但背后的概念则来自古老文明的中国筹算．中国古代筹算位值制在传入印度以前已经有上千年的使用历史，古时的中国官员、商人、僧侣和旅行家，腰挂算筹袋是很平常的，通往印度的丝绸之路使得中国和印度来往密切，因此，十进制数系概念传入了印度，通过印度传入欧洲、非洲、美洲．数系及运算解决人类复杂数运算问题，可被列为中国四大发明外的第五大发明，充分显示了“系统变式”的“以类合类”思想对人类文明发展的巨大贡献．

4 中国最早数学教科书《九章算术》的构造原型

刘徽的《九章算术》一直扮演着和欧几里得《几何原本》类似的角色，在中国和世界数学史上占有重要的地位．虽然《九章算术》作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响，但该书的数学教育思想的文化独特性却鲜有学者研究．《九章算术》中的问题组织不像《几何原本》中题目间相互独立，而是把246道题分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章，即九类，题目也强调“以类合类”思想，形成发展了东方最早教科书组织模式的原型．这里“以类合类”是《九章算术》的文化独特性，也是古代数学教育的“原型”问题设计的基本思想．刘徽在关于《九章算术的评注》序言中解释道：“……事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已”则更清晰地解释了“以类合类”背后的事类相推之含义，因为同发其“一端”，而且也解释了“以类合类”在数学教育中，强调其思想本源“以法通类，以类相从”．几千年来这个“思想”对数学教育影响深远．又如《五曹算经》和《夏侯阳算经》里的问题也是分为几个类别进行论述的．解放前，中国课程引进西方系统之前，数学教科书组织强调分类模型是一个“不言而喻”的设计框架．例如，数学问题分为速度问题、植树问题、年龄问题、工程问题、利润问题，这和西方按照知识的框架进行设计有很大的不同，这也是具有世界意义的中国数学教育成就．对比以希腊为代表强调演绎逻辑的传统视角来看，《几何原本》形成了严格的以定义、定理建立的演绎证明系统，成为了西方数学和数学教育的基石．相比之下，东方数学强调数学问题、设计组织“以类合类”，强调类比思想、问题连接．直到1878年中国数学课程全面引进西方课程后，传统的“以类合类”分类教材设计模式才被慢慢终止[5]．

5 中国的数学教育典型特征

虽然引进西方课程之后，传统的“以类合类”分类教材设计模式逐步被西方的数学知识结构取代[5]，“双基”和“变式”两个术语频繁出现在中国的数学教育文化圈里，而其他文化圈并无这个明显的强调．双基作为当地的课程指导[6]，指导当地的课程设计和教学，甚至将其作为国家的课程大纲和课程标准．在这里，“双基”表示不变的特性而这个不变的特性不能直接传授、死记硬背，必要靠“变化问题”来突出不变的特性，因此从这个意义上，变式是附属于双基目标的实现手段．相对而言，中国大陆教学一个突出的特征就是讨论什么是不变的“双基”，如何通过例题引出“双基”，讨论问题与问题之间的“不变的联系”，以及问题背后的不变的基本数学思想来实现“双基”，教学围绕“什么变，什么不变”而展开的．中国哲学“万变不离其宗”指导下围绕“什么变，什么不变”这个习惯是内地特有的认知习惯[2]，有些地区，例如中国香港、中国澳门就比较缺乏，或者“不惯”！“不惯”反映了东方传统的断裂和缺失，很多数学困难生描述数学是那么难，每个题目都“不一样”，无从下手，对于数学内行而言，每个题目都“一样”，中国大陆教师在长期发展一种变式实践，其目的就是区分“一样”和“不一样”，为什么是一样的，如何变为“一样”？如何抽象出一般的不变的本质，就是如何发展抽象数学的能力，也就是代数能力．显然不变元素（双基）和变异元素（变式教学）明显地是中国式教学隐藏的设计框架，目的是发展归纳思维．“双基”和“变式”是当今中国数学教育区别其他文化的根本数学教育特征．为什么在中国强调的是这个框架，不再别的？难道巧合？“双基”和“变式”包含中国人潜意识的易经哲学之一脉相承，尽管这个一脉相承似乎是不自觉的，也是“以不变类统筹其他类”这种中国汉语的语言习惯的继承，符合汉字和数系构造传统之传承．从国际数学教育透视，中国的数学教育一直强调数学问题、设计组织“以类合类”系统变式，发展类比思想，进而发展“以不变应万变”的代数思维，因为这些基本代数教育思想超前于其他代数文化下的代数系统，具有世界意义的代数教育成就，虽然在几何方面，有空间需要弥补．这个区分对于课程改革，了解哪些需要保持，哪些需要放弃，是有所助益的．

6 “中国式”的问题设计目标

如前所述，中国本土的教学双基和变式，包含中国人潜意识的数学教学思想反映出中国本土的课程和西方课程有着明显的不同：中国式的问题设计更注重问题连接，更注重从单一问题拓展到一类问题，而且本土为实现“以类合类”目标，自然地所发展“本土”的策略，强调“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”的问题变式的结构．这种描述属于中国大陆语言习惯，很少出现在中国大陆以外，但通常被视为更“日常”的本地课程特色．在中国，这个策略存在于学校里任何单一的教学材料（如教材或教学计划）和任何单一的学习材料（如学生练习册）．这种做法普遍被中国教师所接受而被广泛应用，已经内化为“常规”日常实践．在世界视域下，以中国为首的东方课程和西方课程的最大差异在于，以中国为首的东方数学课程组织的细胞，是“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”的问题组的结构，而以美国为首的西方课程问题与问题关联很小，“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”的问题组的结构相对少[7~9]，和西方课程相比（例如加减和分数乘除法），问题变式被认为是中国大陆课程显著特点之一[7~8]．教学而言，变式是“一题多变”、“多题一变”、“一题多解”，中国最质朴的发展“不变关系”甄别之实践．这种教学实践是中国大陆数学教学所独有的，对于中国大陆教师而言，非常普遍，是个常识，无需一提，但却是中国数学教学的精华，中国大陆以外，常常很少提及．

7 螺旋变式课程设计模型

五千年的中国文明衍生了独特的代数教育文化，积累了非常宝贵的经验，但是这些经验尚未上升到理性层面．中国数学教育特别需要一个符合东方哲学思维范式，符合东方文化独特性，继承东方数学和数学教育传统，和东方数学教学思想相吻合的理论．若这个理论不明了，继承中国教学传统也便无的放矢，特别是在中国香港和中国澳门这些东西方文化融合的地方，更需要明确的理论和实践的导引．研究者近十年逐步建立了一套强调系统地“变”，利用问题变式，“结构”教学，实现概念连接，从而达成知识的“深、广、透”的设计框架，并命名为螺旋变式课程设计模型[5，10]．

相比西方数学教学，变中发现不变的变式手段是非常有意义的教学策略，是区分东西方课程的关键环节．例如，美国的核心课程标准包括加减法十几个模型、乘法5个模型和除法5个模型．而中国加减只有一个分合模型，乘法只有重复加模型，除法是乘法的逆运算的唯一模型．美国分数的乘法分配律会在真分数、假分数、带分数各占一单元，原因可能是编者认为3者皆不同，这也是西方教材非常“厚”而中国教材少而精的原因．当然，目前中国大陆教材越编越厚，或许是因为中国数学理论工作者没能及时指出自己的优势，正在丧失优势，因此，撰写此文的目的，一方面让西方学者了解中国数学的优势，另一方面给中国学者提供一个反省的契机．

相对于东方社会的意义而言，中国数学教育虽有变式特色，但远未“系统”化和理论化，中国数学教育追求“深广透”，而西方数学课程因缺失这些优势而变得“宽而浅”，课程结构影响其相应的功能[3]．中国数学教育改革因受西方数学教育文化的影响，大纲、教材、教学向西方靠近，中国数学教育正慢慢丧失其独特性[11~12]，找寻符合自己文化土壤的理性是必要的．

郑玄的《易论》中说：“易一名而含三义：易简一也；变易二也；不易三也．”这句话总括了易的3种含义：“变易”、“简易”和“恒常不变”．“万变不离其宗（‘变易’），变中发现不变（‘简易’），以不变应万变（‘恒常不变’）”是对应的哲学指导思想．这个哲学思想是发展“不变的抽象”的哲学，是代数化思想的指导方针，对代数教学法是非常必要的．根据李约瑟的研究，通过与印度文化、埃及文化、古巴比伦文化的比较，中国文化的算术和代数学是长项．他认为中国人更善于用代数思想解决几何问题，这可能与这些哲学思想息息相关．对东西方课程而言，通过变异实现体验不变，从而学习抽象化具有积极意义．螺旋变式课程设计模型，对西方社会而言，有助于学习东方的经验．因为它奠基于东方数学思维传统，而不是西方几何思维传统，目标为发展以不变应万变的代数思维，根植于东方哲学的起源《易经》，符合中国语言习惯的理论模型，强调“系统”变式的中国特色数学教育，这些“系统”变式的特色为代数的教育发展提供了独特文化基础，对发展算术具有积极的意义．

英国科学史家李约瑟说：“中国科学有个先天缺陷，缺少理论，强调实践，经世为用，仿佛‘独腿’老人，挣扎前行”．中国人理论薄弱，多数数学教育研究者躲避理论，不谈理论，不见理论，即便谈理论也是谈西方理论，因而无可选择，无可作为．目前在世界各地数学教学的指导理论，如建构主义、RMI现实数学不区分代数和几何、韦赫勒理论（Van Hiele theory）是针对几何教学的，当前的流行理论都是源于西方，针对算术和代数的指导力量似乎甚微，全世界每年有2.5亿小学三年级的学生放弃数学学习．东方数学教学则极少有任何系统而清晰理论，世界理论贡献甚微，尽管国际比赛表现（如PISA，TIMSS）相对优异．这里这个隐性的代数教学设计模型研究算是一次小的尝试，虽然这个努力还需要更多完善工作，但是千里之行始于足下．限于篇幅，恕不展开，螺旋变式课程之基本文化意义详见文[8，13，15]，螺旋变式课程之基本设计思想详见文[13~16]，螺旋变式课程之基本数学意义详见文[9~10，14~15]．

［参考文献］

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[责任编校：陈隽]

In Search of Tradition in Chinese Mathematics Education: A Theory for Algebra Instruction

SUN Xu-hua

(Education Department, University of Macau, Macau China)

This study provides the analysis on how the unique feature of Chinese philosophy, variation and invariance soul in “ I Ching”, could be traced Chinese language, number naming, and mathematics development and ancient mathematics curriculum design. Based on the analysis above, the Chinese rationale and logics, named spiral variation curriculum design, was illustrated. The framework will be conductive the understanding of Chinese mathematics education and curriculum and instruction development for algebra.

systematic variations; task design; Chinese mathematic education; textbook comparison

G420

A

1004–9894（2016）05–0005–04

2016–05–10

澳门大学研究基金项目——Practice, Theory, and Research: Chinese Mathematics Curriculum Development (MYRG2015-00203-FED)．

孙旭花（1969—），女，山东莒县人，澳门大学助理教授，主要从事数学课程与教学研究．