一道高考试题的三种解法

张业山　苏凡文

(山东省宁阳一中，271400)



一道高考试题的三种解法

张业山苏凡文

(山东省宁阳一中，271400)

题目(2016年山东高考题)已知

(1)讨论f(x)的单调性;

解(1)解题过程结论如下：

当a≤0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);

当a=2时,f(x)增区间为(0,+∞);

(2)方法1(作差法)

令h(x)=x3+6x2+6x-24,显然h(x)在[1,2]上为增函数.

因为h(1)=-11<0,h(2)=20>0,所以存在x1∈(1,2),使h(x1)=0.

(A)c

(C)b

练习2设函数f(x)在R上存在导函数f ′(x),∀x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f(x)

(A)[-2,2]

(B) [2,+∞)

(C)[0,+∞)

练习3定义在(0,2)内的函数f(x),f ′(x)是它的导函数,且恒有f(x)

练习提示:1.设函数 f(x)=-1；

3. 设函数 f(x)=-1.

所以当x∈(1,x1)时，h(x)<0,g″(x)<0,g′(x)为减函数;

当x∈(x1,2)时，h(x)>0,g″(x)>0,g′(x)为增函数.

所以x∈(1,x2)时,g′(x)>0,g(x)为增函数;

x∈(x2,2)时,g′(x)<0,g(x)为减函数.

所以g(x)min=min{g(1),g(2)}.

方法2(比较法)

所以g(x)max=max{g(1),g(2)}.

>2.8-0.35-2.25=0.2>0，

方法3(放缩法)

设g(x)=x-ln x-1,x∈[1,2],则

所以g(x)在[1,2]上为增函数,g(x)≥g(1)=0,所以x-ln x-1≥0,只需证明

所以h(x)min=min{h(1),h(2)}.

综上，g(x)≥0,当且仅当x=1时取等号;h(x)≥0,当且仅当x=2时取等号.