三角形中与海伦公式类似的两个公式

朱广军

(山东省微山县第一中学，277600)



三角形中与海伦公式类似的两个公式

朱广军

(山东省微山县第一中学，277600)

在人教版高中数学必修5的解三角形中,提到海伦公式,

利用它可以解决已知三角形三边直接求其面积的问题

这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出证明(据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决).此公式结构简单、形式漂亮、便于记忆，堪称数学中的经典公式.

在人教版必修5第20页,给出了三角形中线和高与三边的关系等式. 进一步研究三角形的中线、高与面积的关系,可得到了与海伦公式结构形式类似的面积公式

定理1已知∆ABC,三边分别为a,b,c,其对应的中线为ma,mb,mc,则∆ABC面积

证明如图1，G为∆ABC的重心,延长中线AM于点A′,使GM=MA′.

由三角形重心的性质，得

在∆A′CG中,由海伦公式，得

S∆A′CG=

S∆A′CG=

得证.

证明∵aha=bhb=chc=2S，

在∆ABC中,应用海伦公式，得