高三数学综合测试
2016-11-10
高三数学综合测试
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.f(x)=3sin x,x∈[0,2π]的单调减区间为______.
2.若复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取值范围是______.
3.若方程ln x+2x-10=0的解为x0,则大于x0的最小整数是______.
6.下列说法中,正确的有______.(写出所有正确命题的序号)
① 若f ′(x0)=0,则f(x0)为f(x)的极值点;
② 在闭区间[a,b]上,极大值中最大的就是最大值;
③若f(x)的极大值为f(x1),f(x)的极小值为f(x2),则f(x1)>f(x2);
④有的函数有可能有两个最小值;
⑤已知函数f(x)=ex,对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一个值x2,使f(x1)f(x2)=1成立.
7.设向量a,b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sin θ=______.
13..设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是______.
14.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f ′(x)≤f(x).若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则M的最小值为______.
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知
(1)求θ;
(2) 求满足f(x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.
16.(本小题满分14分)已知命题p:指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减,命题q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围.
(1)求角C的大小;
18.(本小题满分16分)一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧,AB,DC分别与圆弧BC相切于B,C两点,EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在外壁CD和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于点P,设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ);
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.
20.(本小题满分16分)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f ′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f ′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
① 求证:函数f(x)具有性质P(b);② 求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.