疏绕椭球形线圈磁场的空间分布

江俊勤

(广东第二师范学院 物理与信息工程系， 广东 广州 510303)



疏绕椭球形线圈磁场的空间分布

江俊勤

(广东第二师范学院 物理与信息工程系， 广东 广州 510303)

从毕奥-萨伐尔定律出发，先推导出疏绕在旋转椭球面上载流线圈磁场的积分计算式，然后用数值分析的方法研究磁场的空间分布. 利用Mathematica9.0强大的计算能力、卓越的数字绘图功能绘制了磁场的三维分布图. 结果直观地表明:当椭球形状一定时，中心的磁感应强度与单位长度匝数n成正比，而且匝数越多均匀区域就越大；当单位长度匝数n一定时，长短轴的比值越大、中心区内磁场就越强.

疏绕椭球形线圈; 磁场的空间分布; 数值分析

图1　文献[1]给出的椭球形线圈及其磁感线示意图

匀强磁场在物理学的理论分析和仪器应用中都起着重要的作用，如何产生匀强磁场一直是人们关心的问题[1-5].亥姆霍兹线圈和共轴三线圈的结构简单，但磁场的均匀性较差[1-3]；有限长恒定电流圆柱形螺线管磁场的均匀性有了较大改善，但在比较接近端口的地方均匀性仍然不好[4].费恩曼R P在其物理学讲义[5]中指出：在旋转椭球面上沿着轴线方向均匀缠绕线圈(载流)可以在其内部产生均匀磁场. 虽然书中没有明确说明是密绕还是疏绕，但从其插图可以看出是属于疏绕型的，如图1所示.

既然是疏绕的，椭球面上导线必然存在倾斜缠绕的过程，磁场空间分布必然是复杂的(导线附近磁感线分布不可能像图1那么简单)、线圈内部磁场也不可能完全均匀.

为了研究这些问题，首要任务是绘制出旋转椭球形线圈磁场的空间分布. 文献[6]首次考虑了导线的倾斜缠绕过程，但尚未能成功计算出对称轴之外磁场的空间分布，文献[6]自称“计算失败了”．

本文借助较新版本Mathematica9.0强大的数值计算能力和杰出的数字绘图功能，从毕奥-萨伐尔定律出发，用数值分析的方法绘制疏绕椭球形线圈磁场的三维分布图，并研究磁场分布与线圈几何形状的关系．

1　疏绕椭球形线圈磁场的积分表达式

首先要确定的是，缠绕在旋转椭球面上沿着轴线方向均匀线圈的曲线方程.

众所周知，若取椭球中心为坐标原点，z轴为旋转轴，则旋转椭球面的参数方程为

x′=A1cos φsin θ，y′=A1sin φsin θ，z′=A2cos θ，

(1)

图2　缠绕在旋转椭球面上的轴向等距线圈

其中参数θ和φ独立取值：0≤θ≤π，0≤φ≤2π，所以由(1)式可以绘制出连续的旋转椭球面，如图2所示，A1和A2为旋转椭球的半轴长度.

要绘制出缠绕在椭球面的曲线，参数θ和φ就不能独立取值; 由于要求沿着轴线方向均匀缠绕，所以z′与φ应满足如下关系

Δz′∝Δφ，

它表示每增加相同的角度，曲线向轴线方向旋进相同的量.

设沿着轴线方向单位长度的匝数为n，即总匝数为N=2A2n，则

φ=2πnz′.

(2)

把式(2)代入式(1)，容易绘制出沿轴线等距疏绕椭球形线圈的轨迹，如图2所示.

(3)

观测点(x,y,z)相对于电流元的位矢为

(4)

把式(1)和(2)代入式(3)和(4)，再代入毕奥-萨伐尔定律，可得磁感应强度为

(5)

各分量表达式为

A2xsin θ+ A1A2cos(2A2nπcos θ)sin2θ+

(6)

(7)

给定n、A1和A2，由式(6) 和(7)可以确定空间任一点的磁场. 当然，由于积分复杂，只能进行数值计算，幸好通用软件Mathematica是这方面的能手.

2　疏绕椭球形线圈磁场的空间分布

当线圈总匝数N较大时，可以认为载流线圈具有轴对称性，只需研究xoz平面上任一点P(x,z)的磁场分布; 特别是中心匀强区，xoz平面上磁场的分布代表了任何过z轴之平面上的磁场分布情况.

2.1磁场与单位长度匝数n的关系

以B0=μ0nI/(4π)作为磁感应强度的单位，以a作为x和y的单位(a可以是1 cm,1 in或者1 dm，等等)，取半短轴与半长轴的比固定为2∶3，即A1=2a,A2=3a. 磁场大小的绘图区域选择为-1.5≤x/A1≤1.5和-1.5≤z/A2≤1.5．

当n=2、A1=2a,A2=3a (即N=12)时，磁场大小的分布如图3(a)所示，磁场方向的分布如图3(b)所示;

当n=3、A1=2a,A2=3a (即N=18)时，磁场大小的分布如图4所示;

(a)大小的分布(b)方向的分布1050-202420-2-4z/ax/aB/B03210-1-2-3z/a012-2-1x/a

图3　当n=2,A1=2a,A2=3a时,磁场大小的分布图

图4当n=3,A1=2a,A2=3a时, 磁场大小的分布图

当n=4、A1=2a,A2=3a (即N=24)时，磁场大小的分布如图5所示;

当n=5、A1=2a,A2=3a (即N=30)时，磁场大小的分布如图6所示．

1050-202420-2-4z/ax/aB/B0420-2-4z/a02-2510B/B00(b)顶视图(a)默认视图x/a

图5　当n=4,A1=2a,A2=3a时,磁场大小的分布图

图6当n=5,A1=2a,A2=3a时,磁场大小的分布图

图3～图6 (以及更多具体的数值结果)表明：1) 当n≥2，即N≥12时，旋转椭球面内部xoz平面上中心区的磁场大小形成一个平台、磁场方向也几乎都是oz方向，这是主磁场均匀区；但在比较靠近导线的地方磁场大小明显不均匀,磁场方向也呈现出绕导线旋转的现象(磁感线也绕导线旋转，图从略);2) 随着单位长度匝数n的增加，均匀区域有所增大;3) 当半短轴与半长轴的比固定为2:3时，在中心均匀区域内，不论匝数多少，平均每匝线圈对磁场的贡献都是B/n≈9.638 64μ0I/(4π).

2.2磁场与线圈形状的关系

现在研究半短轴与半长轴的比值对磁场的影响. 若取A1=2a和A2=4a，则在n=3时磁场的空间分布如图7所示; 若取A1=6a和A2=4a，则在n=3时磁场的空间分布如图8所示.

1050-20250-5z/ax/aB/B050-5z/a02-2510B/B00(b)顶视图(a)默认视图x/a

图7　当n=3,A1=2a,A2=4a时,磁场大小的分布图

图8当n=3,A1=6a,A2=4a时,磁场大小的分布图

与图3～图6相比较可知，图7的中心区内B/B0的值有所增加，而图8的中心区内B/B0的值则明显减小.

3　结论

本文从毕奥-萨伐尔定律出发，推导出疏绕在旋转椭球面上载流线圈磁场的积分计算式，利用Mathematica9.0强大的计算能力、卓越的数字绘图功能，绘制了磁场的三维分布图、直观地呈现了磁场的性质. 本研究方法的特点和所得结果可总结如下：

(a) 由于考虑了疏绕椭球形线圈中导线的倾斜缠绕过程，因而本文所得到的计算结果能反映真实的磁场分布情况.

(b) 本文的计算结果全部用形象直观、易于理解的彩色立体图表示，可以作为电磁学课程的数字资源．

(c) 计算结果表明，椭球线圈内部磁场并非都是均匀的，只有在不接近导线(椭球面)的中心区域，磁场才是比较均匀的; 随着单位长度匝数n的增加，中心均匀区域有所增大 (中心均匀区的大小和均匀度与n的定量关系有待进一步研究，我们将另文报道)，在中心均匀区内磁感应强度的大小与单位长度匝数n成正比(在保证总匝数N≥12的条件下)，即

(9)

表1　 几种不同的A1∶A2所对应的比例系数k

不同的A1∶A2(对应于不同形状的椭球)，比例系数k也不同,详细具体的数值结果如表1所示. 由此可见,在固定n的条件下，旋转长椭球形线圈优于球形线圈和旋转扁椭球形线圈，旋转长椭球形线圈不但在制作上易于缠绕，而且在相同的nI值情况下旋转长椭球形线圈的磁场大于球形线圈和旋转扁椭球形线圈的磁场. 但是，如果固定总匝数N和半短轴A1，则因A2越大、n就越小，旋转长椭球形线圈内的磁场反而弱.

本文的方法也适合于其他电磁场的数字化研究，是研究电磁场空间分布的一种形象直观、方便可靠的方法．

[1] 王森，罗成．亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析[J]．大学物理，1998，17(3)：17-20.

[2] 江俊勤. 亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究[J]．广东教育学院学报,2006,26(5)：61-66.

[3] 陈俊斌,朱霞,张甫治.用等均匀性曲面研究共轴三线圈磁场的均匀性[J]．大学物理，2007，26(3)：18-21.

[4] 江俊勤.基于Mathematica的数字化物理学[M]. 北京：科学出版社，2015:78-104.

[5] 费恩曼RP，莱登RB，桑兹M. 费恩曼物理学讲义(第2卷) [M]．李洪芳，王子辅，钟万蘅译. 上海：上海科学技术出版社，2013:397.

[6] 董键．Mathematica与大学物理计算(第2版)[M]．北京：清华大学出版社，2013:204-210.

Spatial Distribution of Magnetic Field from Sparse Winding Ellipsoidal Coil

JIANG Jun-qin

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong, 510303, P.R.China)

Based on the Biot-Savart law, the integral expression of the magnetic field from a current carrying sparse winding rotation ellipsoidal coil is derived, the spatial distribution of this magnetic field is numerically studied. By using the famous software MATHEMATICA-9.0, the three-dimensional maps of the distribution of magnetic field are plotted. The results show：When the ellipsoid shape is fixed, the magnetic induction intensity in the central area is proportional to the number of turns per unit length of the coil. The more the number of turns per unit length is, the wider the central uniform area is. when the number of turns per unit length is certain, the bigger the ratio of long axis and short axis is, the stronger the magnetic field is.

sparse winding ellipsoidal coil; spatial distribution of the magnetic field; numerical analysis

2016-05-15

广东省高等学校物理专业综合改革试点项目(9010-14246)

江俊勤，男，广东揭阳人，广东第二师范学院物理与信息工程系教授．

O441

A

2095-3798(2016)05-0061-06