一个联系指数函数的全平面Hilbert积分不等式

黄启亮， 杨必成

(广东第二师范学院 数学系, 广东 广州 510303)



一个联系指数函数的全平面Hilbert积分不等式

黄启亮， 杨必成

(广东第二师范学院 数学系, 广东 广州 510303)

引入独立参量与指数函数中间变量,应用权函数的方法及实分析技巧,建立一个具有最佳常数因子的全平面Hilbert型积分不等式.考虑了其等价式、逆式及特殊参数的齐次与非齐次不等式;还求出了等价不等式的算子及范数表示.

权函数;全平面Hilbert型积分不等式;等价式;全平面Hilbert型积分算子;范数

0　引言

(1)

(2)

(3)

1998年,文[5-6]中引入独立参量λ∈(0,∞)及beta函数,推广式(1)为

(4)

(5)

(6)

2009年,文[22]综述了参量化负数齐次核Hilbert型不等式的一系列研究思想. 2013年,文[23]论述了齐次与非齐次核Hilbert型积分不等式的等价联系.

2007年,文[24]发表了如下具有最佳常数因子的全平面非齐次核Hilbert型积分不等式:

(7)

随后,文[25-32]继续讨论了这一课题. 2009-2014年,杨在专著[21,33-37]中详细论述了一般实数齐次核参量化Hilbert型不等式及其算子刻画的理论.该理论凸显了引入独立参数及两对共轭指数的参量化思想,且讨论了Hilbert型积分算子的范数合成性质,它改进及推广了文[3]的理论成果;文[38]则全面综述了近代Hilbert型不等式理论的研究思想及方法.

本文引入独立参量及指数函数中间变量,应用权函数的方法及实分析技巧,建立如下一个类似于式(7)的具有最佳常数因子的全平面齐次核Hilbert型积分不等式:

(8)

(λ>0).考虑了其引入独立参量的更一般形式、等价式、逆式及特殊参量的齐次及非齐次形式;定义了全平面Hilbert型积分算子,并求出了等价不等式的算子及范数表示.

1　权函数与初始积分不等式

定义1设α,β≠0,0<σ<λ.定义如下权函数:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(ii) 若0

证明 (i) 当p>1时,配方并由带权的Hölder不等式[39]及式(9),有

(15)

由式(11)及交换积分次序的Fubini定理[40],有

(16)

再由式(12)及式(13),有式(14).

(ii) 当0

2　具有最佳常数因子的等价不等式及逆式

(17)

(18)

(19)

证明配方,并由Hölder不等式,有

(20)

故得式(14),且它与式(17)等价.

任给足够大的n∈N (N为正整数集),定义集合Eα∶={x∈R;αx≥0},Fβ∶={y∈R;βy≤0},及

则可算得

对上式作变换 u=eλ(βy+αx),应用交换积分次序的Fubini定理,我们有

由上面计算结果,有

(21)

(22)

及化简得K(σ)≤k.故k=K(σ)为式(17)的最佳值.

式(14)的常数因子K(σ)必为最佳值,不然,由式(20),必导出式(17)的常数因子也不为最佳值的矛盾.证毕.

定理3在定理2的条件下,若把p>1改成0

故得式(14)的逆式,且它与式(17)的逆式等价.

若有常数k≥K(σ),使取代式(17)的逆式的常数因子K(σ)后仍成立,任给足够大的n∈N,则可得式(21)的逆式.

而

令n→∞,式(21)的逆式可化为式(22)的逆式,即有K(σ)≥k.故k=K(σ)为式(17)的逆式的最佳值.式(14)的逆式的常数因子必为最佳值,不然,由式(20)的逆式必导出式(17)的逆式的常数因子也不为最佳值矛盾.证毕.

3　等价不等式的算子刻画

由式(14),有

(23)

定义2定义全平面Hilbert型积分算子T:Lp,φ(R)→Lp,ψ1-p(R)为：任f∈Lp,φ(R),唯一确定Tf=h∈Lp,ψ1-p(R).称式(23)为算子T所对应的不等式.

由定理2,式(23)的常数因子是最佳的,故得

(24)

则式(17),式(14)可改写成如下等价的算子与范数表示式:

(Tf,g)<||T||·||f||p,φ||g||q,ψ,||Tf||p,ψ1-p<||T||·||f||p,φ.

(25)

评注在式(17)与式(14)中,令α=-1,β=1,μ=λ-σ(>0),以eλxf(x)取代f(x),则有

(26)

(27)

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A Hilbert-Type Integral Inequality in the Whole Plane Related to the Exponential Function

HUANG Qi-liang, YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P. R. China)

By introducing independent parameters and interval variables, applying the weight functions and using technique of real analysis, a Hilbert-type integral inequality in the whole plane related to the exponential function with a best possible constant factor is provided. The equivalent forms, the reverses, the related homogeneous homes and non-homogeneous forms with particular parameters are considered. The operator expressions with the norm for the equivalent inequalities are obtained.

weight function; Hilbert-type integral inequality in the whole plane; equivalent form; Hilbert-type integral operator in the whole plane; norm

2016-06-26

国家自然科学基金资助项目(61370186); 广东第二师范学院教授博士科研专项基金资助项目(2015ARF25)

黄启亮,男,广西桂林人,广东第二师范学院数学系教授.

O178

A

2095-3798(2016)05-0021-08