解析小学数学植树问题

◆德吉

解析小学数学植树问题

◆德吉

小学数学应用题是小学数学教学中的一个难点，虽然在各种教材或教学辅导书中把小学数学中的典型应用题分成了平均数问题、行程问题、植树问题等几大类，也对这些典型应用题采用了非常精炼的公式来呈现。但我们在教学中会发现学生在这些典型应用题的公式应用中依然存在很多问题，公式容易混淆、公式记不熟练等等。本文针对其中的植树问题进行探讨。

一、对植树问题的理解

所谓植树问题，是在一条线路上按相等距离植树，线路长、树的棵数及每两棵树之间的距离这三者存在特殊关系。这三个数量中，已知两个数量求出另一个未知量的应用题。

“植树问题”其涉及的问题也比较广泛，不一定就是存粹的某条线路上植树的问题，也可以是在某场地上安排值班员或某线路上插彩旗等等各种问题，类似的问题在我们生活中是处处存在，当然在数学应用题中出现的概率也较高，所以对此类问题的理解和掌握也是极其重要的。当然，在小学“植树问题”中，我们要特别注意的有几个问题:其一，在植树问题中“树”所占据的空间是忽略不计；其二，“树”与“树”之间的距离按等距离来判断且这个等距离称为“株距”；其三，“树”的棵数称为“株数”。此外，“植树问题”要特别注意植树的线路是否“封闭”的问题。

二、植树问题的分类及其公式

（一）没有封闭的线路植树

1.两端都植树

路长=株距×（株数-1；株距=路长÷（株数-1）；株数=路长÷株距+1

2.两端都不植树（把上述公式中的加变减、减变加）

路长=株距×（株数+1；株距=路长÷（株数+1）；株数=路长÷株距-1

3.一端植树（既不加也不减）

路长=株距×株数；株距=路长÷株数；株数=路长÷株距

（二）在封闭线路植树（既不加也不减）

路长=株×株数；株距=路长÷株数；株数=路长÷株距

三、如何让学生更好地理解植树问题

各类教材中公式呈现非常清楚也很简洁，但学生在解相关应用题时依然存在严重的问题，归根结底的问题是对此类问题的理解不够，数量之间的关系理不清，公式死记硬背导致解题遇到很多麻烦。据我们对很多小学学生在此类问题解答时的观察，也根据笔者对拉萨师专小教专业学生的授课经验，发现很多学生对植树问题公式中的“加1、减1、既不加1也不减1”的疑惑最大。我认为从以下方向入手让学生更好理解植树问题。

第一，准确审题。审题是所有数学应用题中很关键的一步，植树问题也是如此。仔细阅读题目，搞清该植树问题是属于封闭路段上植树还是非封闭路段上植树？是两端都植树还是两端都不植树？又还是一端植树？第二，问题归类。有了准确审题的基础，那么就可以把该植树问题进行分类。例如是属于“不封闭路段两端都不植树”的问题或是其他类。第三，理清数量关系。对植树问题来讲关键就是要理清路长、株距、株树之间的数量关系，而让很多学生疑惑的是植树问题中的株数（或株距）与路长找不到直接关联。经验告诉我如果先引进一个名字叫“间隔数”，这样对学生理解此类问题有明显的帮助。所谓“间隔”顾名思义就指的是没有植树的空隙，那么“间隔数”就是我们在植树问题中常说的“株距”的个数。下面我们就对某等路长封闭（或非封闭）线路上两端都植树（或两端都不植树或一端植树）问题进行分析（假设株树均是4棵）:

（一）假设两端都植树

图1　

根据上图我们发现，株数是4棵但间隔数却是3即4-1=3。我们得到一个结论株数比间隔数多一个，且根据上图中量与量之间的关系，很容易就得到以下三个关系式:

（二）假设两端都不植树

图2　

根据上图我们发现，株数是4棵，但间隔数却是5个即4+1=5。我们得到一个结论株数比间隔数少一个，且根据路长、株距和间隔数的关系式，结合本问题得到以下关系式：

（三）假设一端植树

图3　

根据上图我们发现，株数是4棵且间隔数也是4个.我们得到一个结论间隔数和株数相等，且根据路长、株距和间隔数的关系式，结合本问题得到以下关系式：

当然，如图4在封闭路段上植树，那么间隔数与株数相等，故得到的路长、株数、株距之间的关系式与一端植树的关系式是相同的。

图4　

因此，最终我们得到如下结论:

1.未封闭路段两端都植树则间隔数=株数-1；

2.封闭路段两端都不植树则间隔数=株数+1；

3.未封闭路段一端植树或封闭路段植树则间隔数=株数。

而对以上几种情况“间隔数=路长÷株距”这一等式均成立。

四、实例说明

例1：有一条公路全长500米，在公路的一侧从头到尾每隔5米种一棵树，可种树多少棵？

例2：从厂房门口到街口，一共插有30面彩旗，每隔8米插一面彩旗，从厂房门口到街口长多少？（厂房门口和街口都不插）

例3：某小学举办运动会，在周长540米的运动场的外圈安排检察员，每隔30米安排一名，求共有检察员多少名。

综上所述，关键问题就是在植树问题中除了我们常见的路长、株距、株数几个量以外，新添加一个量叫“间隔数”。看似一个很简单的过渡，但它能有效地、快速地帮助小学生们理解株数、株距、路长三者之间的数量关系。有了这些基础，那我们面对不封闭路段双边植树问题、方形路段植树问题等更复杂的植树问题也能很好解决。

作者单位：拉萨师范高等专科学校

责任编辑：周朝坤