千里之行始于足下

王志和

【摘要】数学归纳法是高中内容概念课中的重要而又特别的一节.是由有限向无限跨越的重要一环.对学生的认知是一个很难跨越的“坎儿”.对数学归纳法能够深入浅出的描述具有重要意义.如何使得数学归纳法的教学更加通俗，更加适合学生的认知层次；做到“低起点、小坡度、高品味、重人文”课堂中学生神采奕奕，信心满满；即有学科德育渗透，又使课堂轻松愉快，是教师力争达成的目标.

【关键词】数学归纳法；人文关怀；热传导；递推

1数学归纳法教学实录

导言常言道：千里之行始于足下.做事情要从眼下开始，一步一个脚印，坚实的前行，百折不回，第一步是第二步的基础，第二步是第三步的基础，依次勇敢的走下去，任何艰巨的任务我们也可以完成.

这样的思想，这样的豪情壮语，就是今天的数学课的内容——数学归纳法（书写课题）.

以上语言的中心思想总结成两点：

（1）要有良好的开端——良好的开端是成功的一半.

（2）承前启后，持之以恒，步步登高.

有了以上两个条件，我们就可以蒸蒸日上，永续华章.

下面从数学角度慢慢分析这个原理.

引例1上海地理等级考试传出捷报，我班的同学中，1号是A+，2号是A+，3号是A+，…，于是，我断定：我们班的38名同学都A+.

设计意图采用不完全归纳法，为下面的问题作对比，形成认知期待.

教师：这种推理方法叫做不完全归纳法，这样猜到的结论不一定正确，那么通过什么样的方法猜的结论一定是正确的呢，我们看一下引例2.

引例2拿一根短铁丝，一头烧得很热，另一头慢慢的也热了，这时能否断定整个铁丝都是热的.

通过物理知识（实际上学生在小学的科学课上就做过这样的实验）可知，这是金属的热传导，实际上是分子之间的能量的传递，即可以把热由一处往另一处传递.

设计意图关于用生活的例子解释数学归纳法，我们经历了长时间的思考，也有一些例子，比如下面的“星星之火，可以燎原.”“千里之堤，毁于蚁穴.”等等.都是一些很好的例子，也和数学归纳法的思想很相近，但感觉这些例子距学生的生活比较远，对解释数学归纳法有些欠妥.偶然听物理公开课，突然想到在物理学科中有一些这样的例子.比如波的传递，电流的传递等，有了这些想法以后，通过和物理老师交流，选定了用热的传递来解释更贴切.因为铁丝传热是看得见摸得到的，每位同学都有体会，而波的传递等都比较抽象.

教师：想想，引例1中有没有这样的传递现象？

通过分析，引例1中学生的成绩不具有传递性，即1号同学的成绩对2号同学没有影响，不能把1号同学得A+传给2号同学使2号同学得A+.但铁丝中前面分子如果具有很高的能量，就可以把能量传给后面的分子.这样可以使短铁丝整体都热.

引例3设a1，a2，a3，…，an，…都是实数，且a1=0，an+1=n3·an，求an.

解：有的学生马上就说，an=0.

教师：为什么？学生回答：a1=0可以推出a2=0，a2=0可以推出a3=0，…，

依次下去，就有an=0.

设计意图提起数学归纳法，我们都会想到用多米诺骨牌去讲授，但多米诺骨牌本身有些同学并不了解.而且需要一些假设才能完成.有人做过调查问卷，要使所有骨牌都倒下，学生想的条件并不是我们所想象的那样简单的给出数学归纳法两个步骤.并且其弱点是有限多个，对于无限多的问题在类比上欠妥当.在这个环节上有研究者撰文用集合元素的任意性以及直线与平面垂直的直线的任意性等来类比，我们感觉这里的圈子绕得有点大.我们这里给出的就是一个无限的问题，学生非常容易的得出an=0.事实上，这种设计就是多米诺骨牌的数学化.

师生共同总结：

这里a1=0传到a2，得a2=0；由a2=0传到a3，得a3=0，….可见这个问题具有传递性.依次传下去，就有an=0（n∈N*）.

这里的“依次传下去”，用数学语言怎样解释呢？就是前一个ak=0能推出后一个ak+1=0.也就是如果对某个ak=0，那么一定能推出它的后面的ak+1=0.

详细一点说，k=1时成立，a1=0，推出k+1=2时成立，即a2=0；接着令k=2，即a2=0，推出k+1=3时成立，即a3=0；再令k=3，即a3=0，推出k+1=4成立，即a4=0，….即所有的an=0（n∈N*）.（这就是数学语言的优势！）

总结：上面能推出an=0需要什么条件：

（1）a1=0（铁丝一端被烧热）；

（2）这种解决问题的方式具有传递性（有热传导现象发生），即如果ak=0，能推出ak+1=0.

用这种方法证明下面的引例4

引例4数列{an}的递推公式：a1=2，且an+1=a2n-nan+1（n∈N*），求证：an=n+1.

证明（1）由a1=2=1+1（可知此时要证命题成立）（铁丝一头被烧热）

（2）下面看一看这个问题是否具有传递性（是否有导热现象发生）？

这时实践表明，学生们大都还是在进行如下操作：由a1=2得a2=3；由a2=3得a3=4，由a3=4得a4=5，….

到这里，有的同学说：an=n+1.

有另外的同学反对：没有全算出来，不行！

教师：这种算法永无止境，那么回顾一下引例3，如何说明这种算法具有传递性.

总结出：如果（即假设）n=k时命题成立，即假设ak=k+1；那么当n=k+1时，

ak+1=a2k-kak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1.

即可以把ak=k+1传给它后面的ak+1，使得ak+1=（k+1）+1.依次下去，当n∈N*时，都有an=n+1.

设计意图传统的引例是用关于正整数n的等式（如下面的例2）等阐述递推规律，但简单的等式一般要选择等差数列和等比数列，这时学生常常感觉用递推方法解题（数学归纳法）是多此一举.即选择用递推数列时应遵循的原则是这个数列的通项公式很好归纳（如本处的引例4），而且很难转化为等差数列或等比数列.这样的例子是很难找的，我们也是经过长时间思考才想到这个引例4的.当学生看到引例4时，因为有上面的引例3做铺垫，加之递推数列的结构，很容易做出猜想判断.

以上求证过程可简单的梳理成：

第一步是，先证实（验证）n取第一个正整数（上面的是n=1）时（命题）成立；

第二步是，证明这样命题的正确性具有传递性，即如果（假设）n=k时命题成立，能推出n=k+1时命题成立.

用这样证明有关正整数n的命题的方法我们称为数学归纳法.

关于数学归纳法，有诗为证：

开山鼻祖，基业辉煌；

父业子承，永续担当；

代代相传，传统弘扬；

前程似锦，万世流芳.

设计意图用言简意赅的小诗做方法的总结和提炼，学生喜闻乐见，同时也道出了数学归纳法的思想精髓.使得深邃的道理在愉快惬意中得到理解，促使认识的提高和升华.

例1（1）已知数列{an}中，a1=3，an+1=an+3·4n，对任意n∈N*，求证：an是3的倍数.

（2）数列{an}的通项公式是an=4n-1，对任意n∈N*，求证：an是3的倍数.

设计意图第（1）小题是学生常见的一类数列，实践表明，一些学生常常是求出通项公式，即第二问的an=4n-1.我们这里给出第（2）小题，有两个意图，第一是使有的学生迷途知返，以期用数学归纳法证明第（1）小题，熟悉数学归纳法的两个步骤；第二是对整除问题的解法先给出一个铺垫，因为有了第（1）小题，使得第（2）小题可以借用第（1）小题的递推式去解.实践证明，学生作第（2）小题时可能出现：

假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即ak=4k-1是3的倍数，ak+1=4k+1-1，

两式相减得：ak+1-ak=3·4k，亦即ak+1=ak+3·4k，于是可知ak+1是3的倍数，

即n=k+1时命题成立.

由第一步和第二步可知对任意n∈N*均有命题成立.

还可能出现把ak+1=4k+1-1写成ak+1=4（4k-1）+3，即ak+1=4ak+3，一样可得命题.

例2用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

证明过程略.

设计意图熟悉方法，简单应用.

例3（1）已知数列{an}的通项公式是an=（n2-5n+5）2，小欣计算得：a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，于是，小欣断言，对所有的n∈N*，都有an=1.

小欣的断言是否正确.

（2）小明想用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n（n+1）2+2016，证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由.

假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2+2016成立，

那么，当n=k+1时，

左边=1+2+3+4+…+k+（k+1）+2016=k（k+1）2+2016+（k+1）=k（k+1）+2（k+1）2+2016=（k+1）（k+2）2+2016.

右边=（k+1）（k+2）2+2016，

所以当n=k+1时等式也成立

所以等式对一切正整数都成立.

（3）小红想用数学归纳法证明1+2+3+4+…+n=n（n+1）2，证明方法如下，请同学们思考一下是否合理，并说明理由.

（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立

（2）假设n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2成立.

当n=k+1时，左边=1+2+3+4+…+k+（k+1）=（k+1）（1+k+1）2=（k+1）（k+2）2.

右边=（k+1）（k+2）2.

所以当n=k+1时等式成立.

由（1）（2）知，对n∈N*公式都成立

设计意图（1）是防止学生由不完全归纳法做出错误判断.（2）和（3）反复紧扣数学归纳法的两个条件，（2）问缺少了奠基，结果用“数学归纳法”证出了一个假命题，引起学生认识冲突，让学生深刻理解奠基的作用（否则将以讹传讹）；（3）问在突出第二个条件：传递性，刚开始学生可能认为第二小问的证法是正确的，在教师点拨后学生幡然醒悟，传递性也更加深入人心.三个反例对学生正确认识数学归纳法起到警示作用.

2关于数学归纳法引例的若干思考

关于数学归纳法的导引，我们通过了几年时间的思考，想过了很多例子，在这里举出若干，以供教学参考.

（1）多米诺骨牌.

（2）万丈高楼平地起，用建造楼房说明原理.

（3）火车跑得快，全靠车头拽.用火车头及其联接来说明.

（4）星星之火，可以燎原.

原意是：有一点火焰，从里到外，慢慢燃烧，会燃遍所有草原.即：首先有一个火种，其次是前面草燃烧的火焰能将后面的草点燃，这样会燃遍所有草原.

（5）奥运火炬接力.

（6）美国故事：金盏花的纯白色种子的形成过程.

（7）小米1、小米2，……，小米手机系列；或者用微信圈等.

（8）杜牧的诗：过华清宫：

长安回望绣成堆，山顶千门次第开.

一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来.（用古代的驿站去说明.）

（9）佛教的思想：世间有轮回，人能转世.前生是今生的因，来世是今生的果.前世修来今生受，今生修积后世人.用佛教修炼来生去说明原理.

（10）宋代秦观（即秦少游）的《客怀》：静思伊久阻归期，久阻归期忆别离.忆别离时闻漏转，时闻漏转静思伊，…….去说明递推.

（11）老子的：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”

（12）学生在东方绿舟军训玩过的“人浪”游戏 .

（13）上课伊始，跟学生玩如下游戏：按班级同学的学号从小到大再接回，我们班级是38人，一号接二号，依次下去，38号结束后一号再接，无限下去…，如一号说：一马当先，二号接：先人后己，三号接：己所不欲，勿施于人，四号接：人定胜天，五号接：天理不容，六号接：容我好好想想，七号接：乡间小路（短语、谐音语句都可以）……，问学生，这样接下去，能接多久，学生答：要永远接下去….

（14）脚着谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡，…….——李白《梦游天姥吟留别》，用登天梯表示递推.

（15）欲穷千里目，更上一层楼.

（16）千里之堤，毁于蚁穴.

（17）江山代有人才出，各领风骚数百年.（18）高一军训，学生排成一队，教官命令，报数：学生：1，2，3，4，….

（19）史书《周礼》中有这样一段记载“在各国从边疆到腹地的通道上，每隔一段距离，筑起一座烽火台，接连不断，台上有桔槔，桔槔头上有装着柴草的笼子，有敌人入侵时，烽火台就一个接一个地燃放烟火传递警报.

有什么条件可使烽火台依次全部点燃？

①第一个点燃；

②看到第一个烽火台点燃，第二个烽火台就要点燃，依次第三个烽火台，….

即在第k个烽火台点燃时，能引起第k+1个烽火台点燃.

（20）我姓王，我为什么姓王，是因为我爹姓王，我爹为什么姓王，是因为我爹的爹姓王，…，一直追溯上去，直到我的祖辈中第一辈被封为王氏，一直传递下来.

我们来梳理一下，我们家族都姓王有几个条件，首先第一辈姓王，其次，姓王的这个姓氏能永远传递下去（假如每代王姓都能传到下一代），使得我们这个家族祖祖辈辈姓王了.

即“n=1（第一代）时姓王；如果某一代姓王亦即n=k（代）时姓王，推出（下一代）即n=k+1（代）姓王.”于是我就姓王了.

（21）芝麻开花节节高.这实际上是数学归纳法的很好写照.