一元抽象函数对称问题的思考与实践

何建云

【摘要】对称问题是研究几何和代数问题必不可少的内容.建立几何与代数间的联系能有效培养学生数形结合思想，促进学生数学思维的灵活性和解决问题的时效性，提升学生认识数学知识的宏观调控能力和微观操作手段，达到应用数学解决实际问题之目的.

【关键词】一元抽象函数；对称；实践

一元抽象函数的对称问题是模拟考试和高考命题的热点之一，常考常新，难度较大，函数的对称问题，从初中到高中，除三角函数讨论总结出对称性外，其它基本初等函数针对对称性问题泛泛而谈，甚至不谈.关于对称的问题最早是以几何概念的“形”的文字语言出现的，而把这种“形”的概念转化为“符号语言”的“数”表达出来，在教材中几乎是空白，这就需要教师挖掘教材内涵，开发校本教材去弥补和化解对学生造成的“硬伤”.

1建立函数中心对称概念

在高中数学教材[1]中，中心对称问题呈现于教材是在解析几何知识中，其基本概念最早见于初中数学平面几何知识.初中教材中“把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.”[2]这说明了两个图形是否关于某点对称的问题.同时“把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.”[3]这说明了一个图形是否是中心对称图形的依据.在高中阶段的函数性质研究中，除了“形”的观察研究外，更重要的是“数”的严密推理过程，也就是数学建模的深入理解：若一个函数的图象绕着某一点旋转，如果旋转后的图象能够与原来的图象重合，那么这个函数的图象关于这个点成中心对称.换句话说：“对于函数f（x），其图象上的任一点P1（x，f（x）），关于点P（m，n）的对称点P2（2m-x，2n-f（x））也在函数图象上，则称函数f（x）的图象关于点P成中心对称.”根据这个定义，如何判断函数图象是否是中心对称图象和如何求函数的对称中心问题就迎刃而解了.

2建立函数关于轴对称的概念

初中阶段“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（或轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后的重合的点是对应点，叫做对称点.”[4]这说明了两个图形是否关于某直线对称的问题.“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，也就是说这个图形关于这条直线（成轴）对称”[5].这给出了一个图形是否是轴对称图形的依据.由于一元函数图象是一个平面图形，为此，一元函数图象关于轴对称的概念可描述为：若一个一元函数的图象沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个函数图象就叫做关于这条直线（成轴）对称.由于“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线段的垂直平分线”[6]，故对于函数关于某直线对称的概念也可表述为：对于函数f（x），其图象上的任一点P1（x，f（x））关于直线l：y=ax+b，（a≠0）的对称点P2（m，n）也在函数f（x）图象上，则称函数f（x）的图象关于直线l对称.其中m，n由方程组 n-f（x）m-x=-1a，

n+f（x）2=a·m+x2+b求出，然后检验n=f（m）是否成立？若成立，表明y=f（x）关于直线l对称；若不成立，则表明l不是y=f（x）的对称轴；当a=0时，m=x，n=2b-f（x）从而代入y=f（x）检验判断即可.

不难知道：若已知一个函数y=f（x）关于某直线成轴对称，要求出其对称轴就可以用待定系数法解决了.

3抽象函数y=f（x）的对称性结论及证明

3.1若函数f（x）满足f（a-nx）=f（nx+b），则f（x）是对称函数，且函数关于直线x=a+b2对称.

证明在f（a-nx）=f（nx+b）中，令X=a-nx，得f（X）=f（a+b-X），即f（x）=f（a+b-x）.设点（x，f（x））在函数f（x）的图象上，则点（x，f（x））关于直线x=a+b2对称的点的坐标为（a+b-x，f（x）），由f（x）=f（a+b-x）可证得点（a+b-x，f（x））也在函数的图象上.故函数关于直线x=a+b2对称.

3.2若函数f（x）满足f（a-nx）=-f（nx+b）+c，则f（x）是对称函数，且函数关于点（a+b2，c2）成中心对称.

证明在f（a-nx）=-f（nx+b）+c中，令X=a-nx，得f（X）=-f（a+b-X）+c，即f（x）=-f（a+b-x）+c.设点（x，f（x））关于点（a+b2，c2）对称的点的坐标为（a+b-x，c-f（x）），由f（x）=-f（a+b-x）+c得c-f（x）=f（a+b-x），即点（a+b-x，c-f（x））也在函数的图象上.故函数f（x）关于点（a+b2，c2）成中心对称.

3.3若给定函数f（x），则函数y=f（a-nx）与y=f（nx+b）的图象关于直线x=a-b2n对称.

证明设y=f（a-nx）图象上任一点（x，f（a-nx））关于直线x=a-b2n对称的点为（a-bn-x，f（a-nx）），令X=a-bn-x，则（X，f（nX+b）），即点（x，f（nx+b））在函数y=f（nx+b）的图像上，故函数y=f（a-nx）与y=f（nx+b）的图象关于直线x=a-b2n对称.

当函数y=f（x）关于任意直线或点对称，证明可仿照上面方法进行，只是较复杂而已.当函数y=f（x）关于某点或关于形如x=m的直线对称，就可利用其逆命题得结论.

4抽象函数y=f（x）双对称与周期的关系

函数y=f（x）同时关于点点或点线或线线的对称叫做双对称.

4.1若函数f（x）的图象关于直线x=a，x=b，（a≠b）对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|b-a|是一个周期.

证明因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以f（x）=f（-x+2a）；同理有f（x）=f（-x+2b），所以f（-x+2a）=f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.所以f（x）的一个正周期T=2b-a.

4.2若函数f（x）的图象关于点（a，0）和直线x=b对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=4a-b是一个周期.

证明因为f（x）的图象关于点（a，0）对称，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因为f（x）的图象关于直线x=b对称，所以f（x）=f（-x+2b）；因此-f（-x+2a）=f（-x+2b），化简得f（x）=f（x-4a+4b）.故T=4a-b是一个周期.

4.3若函数f（x）的图象关于点（a，0）和点（b，0）对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2b-a是一个周期.

证明因为f（x）的图象关于点（a，0）对称，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因为f（x）的图象关于点（b，0）对称，所以f（x）=-f（-x+2b）；因此有-f（-x+2a）=-f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.故f（x）的一个正周期T=2b-a.

5抽象函数f（x）的构造函数法依据及应用

由以上知识可知，若一个抽象函数的对称性按定义法来解决问题则较为繁杂；若应用抽象函数的对称性结论或双对称性与周期的关系来解决问题，则能缩短解题过程和时间.要做到这一点，必须熟练掌握这些“用处大”的结论.由于数学知识内容丰富，容量大，对中、差生来说，有效掌握函数的对称问题就显得“不可理喻”和力不从心了.如何让全体学生找到浅显易懂的解决函数对称问题的方法呢？采用构造函数法不失为一种较简捷的办法.因为存在性包含于任意性中，所以只要构造出某个符合抽象函数所有条件的具体函数，则这个具体的函数就是符合这个抽象函数条件的一个特殊函数.

例1（2007年重庆卷理） 已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数f（x+8）为偶函数，则（ ）

A.f（6）>f（7） B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（10）

解析f（x+8）为偶函数，所以f（x+8）=f（-x+8）.即函数f（x）关于直线x=8对称，又f（x）在（8，+∞）为减函数，故可设f（x）=-（x-8）2.

由一元二次函数性质可知：f（7）>f（10）.

故选D.

反思应用一元二次函数的对称性性质.

例2定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）和点（3，2）对称，则f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=（）

A.16B.24 C.32 D.48

解析法一性质法：因为在R上函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，所以f（x）=-f（-x+2）+2，且f（0）+f（2）=2.同理，在R上函数f（x）的图象关于点（3，2）对称，则有f（x）=-f（-x+6）+4.因此-f（-x+2）+2=-f（-x+6）+4，化简得f（x）=f（x+4）-2.所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=4[f（0）+f（2）]+24=4×2+24=32.

故选择C.

法二构造函数法： 因为一元一次函数f（x）=ax+b（a≠0）恒关于其图像上任意点对称，故点（1，1），（3，2）在其图像上.由a+b=1，

3a+b=2得a=12，b=12.则f（x）=12x+12.

所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=12（0+2+4+…+14）+12×8=32.

故选C.

反思应用一元一次函数关于其图象上的任意点对称的性质求解简便易懂.

例3定义在R上的函数f（x）的图像既关于点A（m，n）对称，又关于直线l：y=ax+b（a≠0）对称，请你构造一个满足条件的函数f（x）.

解析因为过点A（m，n）且垂直于l的直线关于l对称，所以可构造函数f（x）=px+q，则有p=-1a，

n=pm+q，解之得：q=n+ma.

所以f（x）=-1a（x-m）+n.

故可构造一个满足条件的函数f（x）=-1a（x-m）+n.

反思一元一次函数关于其图象上的任意点对称；平面上互相垂直的两条直线互为对称直线.

总之，应用构造函数法解决抽象函数对称问题运用于选择题和填空题时较方便，但在解决解答题和证明题时只能作为打开思维的依据而不能作为完整的解题过程，它毕竟是一种“特殊性”的方法存在于“普遍性”方法之中，是建立在对基本初等函数性质熟练掌握基础上的灵活应用的方法.

参考文献

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书.数学选修21A版[M].北京：人民教育出版社：44.

[2][3]林群.义务教育教科书.数学九年级上册[M].北京：人民教育出版社：62-67.

[4][5][6]林群，义务教育教科书，数学八年级上册[M].北京：人民教育出版社：58-60.