基本不等式解题“三步走”

李代辉

（四川省德阳市德阳中学校）

基本不等式解题“三步走”

第一步：应用特征

例1.已知a2+b2=1（a，b＞0），求a+b的最大值。

分析：条件中有平方和为定值、结论中有和为最值，满足基本不等式的应用特征，故可以直接使用基本不等式求解。而包含和与平方和的基本不等式是公式④。

例2.α为锐角，求sinαcosα的最大值。

分析：题目中只有一个字母α，但可以发现结论中是sinα与cosα积的最值，而sinα与cosα的平方和是定值1为隐藏条件，满足基本不等式的应用特征。包含和与积的基本不等式是公式②。

解：∵2sinαcosα≤sin2α+cos2α=1

点评：在使用基本不等式时可能会出现在和、积、倒数、平方和这四个中，题目上只有一个最值。那就需要你寻找隐藏的定值，而隐藏的定值就必然在剩下三个中（例1）。同时在使用中不一定是两个字母，它可能是只有一个字母（例2）。

第二步：应用技巧

在题目满足基本不等式的应用特征时，经常会出现不能直接得出定值或直接应用公式的情况。这时就需要有一定的技巧进行转化，技巧规律为：加减常数（或定值）与乘除常数（或定值）。举例如下：

李代辉

（四川省德阳市德阳中学校）

（当且仅当x+1=2时等号成立）

分析：题目中满足倒数和与和的特征，但基本不等式中没有对应的公式。此时直接在结论中乘除定值后整理就可以把和与倒数和的特征转化为和与积的特征，从而使用公式①。

（当且仅当a=b=2时等号成立）

∴a+b的最小值为1。

第三步：应用检测

基本不等式的应用过程中会全程贯穿应用前提“一正二定三相等”。在前面两步中，我们主要在公式的应用和定值上下功夫，第三步就需要考虑“一正”和“三相等”了。

“一正”是出现字母为负需要提负调整为正后才能用基本不等式。

“三相等”是指在计算出结果后一定要检验其不等式中等号是否能够成立，如果能成立，则最值是可以取到的；如果不成立，则不能用基本不等式求解，需要放入函数中求解。

∵a+b=1

总结：在实际使用中，按照“三步走”的原则弄懂知识点后，加以少量的训练巩固就可以解决所有涉及基本不等式的最值问题，从而达到灵活应用基本不等式的目的。

·编辑李建军