三步骤突破错位相减法

陈泽龙

【摘要】 纵观历年高考，数列求和作为高考一个必考知识点，而错位相减法是数列求和的一项重要方法. 本文主要通过“变符号，定项数，巧检验”三个步骤并结合实例突破错位相减法.

【关键词】 错位相减法；三步骤；数列

已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Tn，通常使用错位相减法. 错位相减法是数列求和的一项重要方法，一直是高考的重點和热点. 错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解，但运算化简能力要求较高，学生在运算过程中容易出错，难于得到正确的结果. 从历年的高考答卷中发现，能用错位相减法算出正确结果的考生少之又少. 学生在应用错位相减法解决数列求和问题时，主要在三个地方容易出错. 针对易错点，本人提出三步解决法：“变符号，定项数，巧检验”. 这三个步骤，将有助学生出奇制胜，一举突破错位相减法.

易错点分析：

易错点一：上述求解过程中，（3）式中最后一项的符号易出错，这一项如不特别注意，很容易写成加号.

易错点二：上述（3）式，除去首项和末项，中间新构造的等比数列和式应为n - 1项的和.

易错点三：经过较为复杂的运算、化简得到的结果（4）式可能有误.

应对措施：

1. 变符号，牢记经过错位相减得到的（3）式前面各项的符号均为加号，最后一项的符号应变为减号.

2. 定项数，切记经过错位相减得到的（3）式除去首项和末项，中间的等比数列和式是n - 1项的和.

3. 巧检验，对于经过艰苦运算得到的最后结果（4）式，可巧妙的使用T1 = a1b1进行检验. 若T1 ≠ a1b1，那结果肯定错了. 上述例1中，根据（4）式得到T1 = -2 + 5 = 3，而a1b1 = 3·1 = 3，符合T1 = a1b1.

例2 已知等差数列{an}满足：a5 = 14，a7 = 20.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn = 2 - 2·Sn.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

反思检查：（1）变符号；（2）定项数；（3）巧检验，由例2的（4）式可知，T1 = = 3， = 3，符合T1 = a1b1.

利用上述三步骤，“变符号、定项数、巧检验”. 重视解题过程中的关键环节，并用特殊值巧妙验证结果的正确性. 必能化腐朽为神奇，大幅度提高利用错位相减法解题的正确率，增强广大学子学习数学的信心.