非线性分数阶演化方程的新解

刘银龙，夏铁成，刘泽宇

（上海大学理学院，上海 200444）

非线性分数阶演化方程的新解

刘银龙，夏铁成，刘泽宇

（上海大学理学院，上海 200444）

通过使用改进的分数阶sub-equation方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解,如分数阶Burgers方程、耦合分数阶Burgers方程与非线性分数阶Klein-Gordon方程等,并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.

改进的分数阶sub-equation方法；分数阶Burgers方程；耦合分数阶Burgers方程；分数阶Klein-Gordon方程

1695年，莱布尼兹定义了分数微积分-普通微积分的推广.但直到最近几十年分数微分方程才重新得到学者们的关注，这是因为其对复杂现象有确切的描述，例如非布朗运动、系统识别、流体流动、控制问题、信号处理、黏弹性材料、聚合物和其他的学科领域的问题.众所周知分数阶方程的最大优势是其非本地属性，这意味着未来系统的状态不仅取决于其当前状态也取决于其所有的历史状态.例如，部分衍生品、流体动力交通模型可以消除由连续交通流的假设［1］引起的缺陷.最近，许多学者开始研究分数阶的函数分析，如把Yang-Laplace转换和Yang-Fourier转换的性质和定理应用到分数阶微分方程、微分系统和偏微分方程等.为了更好地理解复杂的非线性物理现象及其在实际生活中进一步的应用，一个自然而然的问题出现了，即怎样才能得到分数阶偏微分方程（fractional partial differential equation，FPDE）的精确解.目前，已经建立和发展了很多有效的方法，从而获得了FPDE的数值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分转换方法［4］、变分迭代法［5］、摄动法［6］等.另外，一些偏微分方程已经被研究和解决，如脉冲分数微分方程［7］、分广义Burgers流体［8］、分数阶热和波动方程［9］等.

最近，He等［10］和Geng等［11］应用Exp-function方法寻求偏微分方程精确解.这种Expfunction方法得到了广泛的应用，并被用来寻找非线性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系统［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系统、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.这表明，通过Exp-function方法可以得到含参数的解，并且从中可以发现一些大多数现有方法的已知解.张盛等［16］提出了一种新的寻求偏微分方程精确解的直接方法，该方法被称为分数阶sub-equation方法，是基于齐次平衡原则［17］、修正的Jumarie黎曼——刘维尔导数［18］和符号计算.张盛等使用这种方法成功地获得了非线性分数阶演化方程的精确解.众所周知，当使用直接法找到非线性偏微分方程精确解时，选择一个适当的拟设是非常重要的.本研究正是通过运用改进的分数阶sub-equation方法［19］来寻找在流体力学中分数阶方程的精确解.

首先，考虑分数阶Burgers方程与耦合分数阶Burgers方程［20］：

Esipov导出了这个耦合系统.耦合Burgers方程系统的研究是非常重要的，因为这个系统在流体悬浮液或胶体中受到的重力的影响是一个简单的模型沉降或进化了体积浓度的两种粒子，其中常量p,q是依赖于系统参数沛克莱数、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗扩散系数.

另外，尝试对非线性分数阶Klein-Gordon方程［21］

进行了求解，可知非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多非线性类型，且该Klein-Gordon方程在一些实际应用程序中起着重要作用，如固态物理、非线性光学和量子场论等.

修正的α阶Jumarie's Riemann-Liouville导数的定义如下：

上述定义的分数阶导数具有3种性质：

上面的这些性质在后续的分数阶方程计算中非常重要.

1 方法介绍

对于改进的分数阶sub-equation方法的步骤如下.

步骤1 给定一个分数阶偏微分方程，

步骤2 通过行波变换

式中，c是待定常数.方程（6）便可以约化成关于Uj=u（ξ）分数阶常微分方程

步骤3 假定

式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）为待定常数，mj为通过平衡方程（6）或（8）中最高次项与非线性项得到的正数，并且φ=φ（ξ）满足

这里，

步骤4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville导数的性质［22］，得到一个关于φ（ξ）的多项式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系数为0，得到一组关于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程组.

步骤5 假定这些常数c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通过上述超定方程组求得，则将这些常数代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精确解.

2 应用

下面将用改进的分数阶sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.

2.1 分数阶Burgers方程

通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：

通过平衡方程（11）中最高次项与非线性项，可将解设成

这里的φ（ξ）满足方程（10）.

将方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple计算这组方程，有

情形1

式中，c,α,η是任意的常数.

情形2

式中，c,α,η是任意的常数.

通过情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：

式中，σ＜0,ξ=x+ct.

这里，σ＜0,ξ=x+ct.

式中，σ＞0,ξ=x+ct.

在这里，σ＞0,ξ=x+ct.

式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常数.

当然，通过情形2可以得到更多的解，这里就不一一列出了.

2.2 耦合分数阶Burgers方程

通过行波变换u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：

根据前面所描述的方法，可以设方程（14）有如下解的形式：

这里的φ（ξ）满足方程（10）.

将方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程组.用Maple计算该方程组，有

式中，η,q,a0是任意的常数.

式中，a0,b0,b-1是任意的常数.

利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：

2.3 非线性分数阶Klein-Gordon方程

重复上述过程，通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：

平衡方程（16）中的最高次项与非线性项，可将解设成

这里的φ（ξ）满足方程（10）.

将方程（11）和（17）代入方程（16）中，同样可以得到一组关于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程组.用Maple计算这组方程得

利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：

3 结束语

本研究利用一个改进的分数阶sub-equation方法解决了在流体力学系统中的非线性偏微分方程，并成功获得了关于分数阶Buregers方程、耦合Buregers方程及分数阶Klein-Gordon方程的一些精确解析解.这些解包括广义双曲线函数、广义三角函数的解（目前所知这些解都是新解），而且这些解可能有利于进一步了解复杂的非线性物理现象和偏微分方程.此外，通过使用直接的方法选择适当的拟设在解决非线性分数阶偏微分方程过程中具有重要意义.

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New exact solutions of some nonlinear fractional partial differential equation

LIU Yinlong，XIA Tiecheng，LIU Zeyu
（College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

By using an improved method of fractional sub-equation,some nonlinear fractional evolution equations are solved including fractional Burgers equation,coupled fractional Burgers equation and fractional Klein-Gordon equation.New exact solutions of these nonlinear fractional nonlinear evolution equations are obtained.

improved method of fractional sub-equation；fractional Burgers equation；coupled fractional Burgers equation；fractional Klein-Gordon equation

O 178

A

1007-2861（2016）04-0469-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.021

2015-02-13

国家自然科学基金资助项目（11271008）

夏铁成（1960—），男，教授，博士生导师，研究方向为孤子与可积系统.E-mail：xiatc@shu.edu.cn