一维等间距δ势垒中的波函数及其物理性质

洪　云

(重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)



一维等间距δ势垒中的波函数及其物理性质

洪云

(重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

利用透射矩阵方法，通过求解定态薛定谔方程，得出了一维等间距分布δ势垒中的波函数及其物理性质；通过数值分析，讨论了几种等间距分布的δ势垒中电子的透射系数和几率流密度随能量变化的特点。

隧穿效应；δ势垒；透射矩阵；透射系数；几率流密度

微观粒子的量子隧穿效应是量子力学的重要内容之一，是粒子具有波动性的表现。量子隧穿现象在微电子学、半导体器件、新型材料和介观物理等中都有重要的应用。1970年，Esaki和Tsu在寻找负微分电阻的新器件的时候，从理论上给出了超晶格的概念，之后又在1973年首次在理论上研究了超晶格量子肼的隧穿问题；1974年，Chang和Esaki等人通过实验验证了这一结论；1992年，Lilienfeld观测到了电子从金属到真空的隧穿现象[1]。在此之后，广大的理论和实验工作者就半导体超晶格和量子肼的共振隧穿现象在理论以及实验上都进行了广泛深入的研究。

在电子隧穿问题中，如何计算电子穿过势垒的透射系数和势垒之间的电子几率流密度等问题是计算隧道电流，研究隧道器件伏安特性，分析加速器中电子流强度的关键，而该问题的关键就在于求解一维定态薛定谔方程。由此，正确求解一维定态薛定谔方程成为人们关注的热点。众所周知，可以用解析方法精确求解的一维定态薛定谔方程是非常有限的。于是，人们提出和发展了许多方法[2]，如变分法、有限元法、蒙特卡罗法、WKB近似法、Ariv函数近似法和透射矩阵(传递矩阵)法等。这些方法各有优缺点，其中变分法的适用范围较窄，有限元法和蒙特卡罗法应用起来较为复杂，WKB近似法和Airv函数近似法得出的结果不够精确。上述方法中，只有透射矩阵法适用范围较广，使用起来较为简单，易于编程，并能够非常准确、快速地求解一维定态薛定谔方程。同时，在大部分的初等量子力学教材和文献中都有标准的处理方法，给出了粒子隧穿单势垒几率的计算，但是对双势垒以及更多势垒情况，隧穿现象没有给出讨论。此处应用C.Cohen-Tannoudji，B.Diu和F.Lalo⊇提出的透射矩阵方法[3]，讨论了一维等间距分布δ势垒中的波函数及其物理性质，并且推广到了一维等间距非对称分布δ势垒中的情形；然后，通过Wolfram Mathematica软件数值分析和模拟，得出了几种不同δ势垒分布情形下，电子的透射几率和几率流密度与电子能量的变化特点。

1　一个δ势垒中粒子非束缚态的讨论

1.1透射矩阵M(k)的定义及其性质

(1)

可以令

(2)

在x<-l/2的区域中，函数eikx满足方程(1)，此处的一个解记作vk(x)。当x>l/2时，它必须是方程(1)的两个独立解eikx和e-ikx的线性组合。于是有：

(3a)

(3b)

式(3b)中，系数F(k)和G(k)不仅依赖于V(x)势的形状而且依赖于k的取值。

根据这个势场的特殊性，则解vk(x)在x<-l/2与x<0，x>l/2与x>0全同，所以由vk(x)在x=0点处的连续性条件及其一阶导数的跃变条件可得出F(k)和G(k)：

(3c)

(4a)

(4b)

由连续性条件和跃变条件可得：

(4c)

(5)

由式(3a)(3b)(4a)及(4b)，得：

(6a)

(6b)

其中，

(7)

由式(7)可得一个表示透射波幅和入射波幅关系的矩阵M(k)：

(8)

利用此矩阵，可将式(7)写成：

(9)

因此，透视矩阵M(k)可以根据波函数在势场“左侧”的行为(式(6a))，推知它在势场“右侧”的行为(式(6b))。对于势场V(x)=ν0δ(x)，可通过透射矩阵M(k)由波函数在δ势垒左侧的行为推知波函数在δ势垒右侧的行为。一个有限区间内任意形状的势场(可以呈现一个或多个势垒、势阱等)对其本征函数的影响都可以用一个2×2的透射M(k)矩阵来描述，并且可以写为以下简单形式[3]

(10)

在定态时，有：

(11)

1.2反射系数和透射系数

(12)

(13)

从而反射系数和透射系数为

(14a)

(14b)

显然，条件(11)保证了R1(ki)+S1(ki)=1。

反之，若粒子自右向左入射，则应取A=0，同理可得相应的反射系数R2(ki)和透射系数S2(ki)，可以看出R1(ki)=R2(ki)而且S1(ki)=S2(ki)，亦即只要能量已经给定，一个势垒(不论是否对称)的可穿透性对于来自左方与来自右方的粒子永远是一样的。

2　一维周期分布δ势垒中粒子的物理性质

2.1理论模型的建立

考虑由N个势垒并列形成的周期势V(x)，则各势垒的位置依次在x=0,x=l,x=2l,…，x=(N-1)l处。此处，研究E>0的定态通过这些势垒时，非束缚态本征函数φk(x)的行为如何。文中φk(x)是H的本征值方程的解，式中E和k依旧由式(2)相联系：

(15)

(16)

因此，在N个势垒的左侧，即在x<-l/2的区域中，V(x)为零，其波函数可以表示为

(17)

如式(3)—(6)所示，在以点x=0为中心的第一势垒范围内，可将式(12)的通解写成

(18a)

(18b)

同样，在以点x=l为中心的第二个势垒的范围内，可得：

(19a)

(19b)

以此类推，在以点x=(n-1)l为中心的第n个势垒的范围内，有:

(20a)

(20b)

最后，在N个势垒的右侧，即在x≥(N-1)l的区域中，V(x)仍然等于零，于是有:

(21)

接下来在x=-l/2,l/2,…,(N-1)l+l/2这些点，将φk(x)的这些表达式衔接起来。

(22a)

(22b)

其中各系数之间有如下关系：

(23)

M(k)就是引入的透射矩阵。因此，在第n个势垒的左端，式(20)所确定的函数φk(x)与平面波的叠加结果式(22a)具有相同的函数值和相同的导数值。同样，在这个势垒的右端，φk(x)和式(22b)有相同的函数值及相同的导数值。利用这些结果就可以写出周期势场中的衔接条件。

(24)

(25)

同理，在第n个势垒和第(n-1)个势垒的衔接点(即x=nl-l/2处)，将式(22a)中的n换成(n+1)，并令所得结果的函数值及导数值分别等于式(22b)的函数值及导数值，得:

(26)

(27)

2.2周期分布δ势垒下波函数波幅的过渡关系

为讨论周期分布δ势垒下的波函数，先定义矩阵D(k)为

(28)

利用该矩阵可将衔接条件式(26)写成如下形式：

(29)

考虑到式(23)，可将式(29)改写成

(30)

迭代这个关系式，并利用式(24)，便可得:

(31)

利用式(23)及式(31)，对衔接条件式(27)作变换可得:

(32)

亦即：

(33)

2.3一维等间距非对称分布δ势垒中波函数的物理性质

由式(30)和式(31)的迭代关系特点，可将式(33)进行推广，其中经过的N个势垒分别对应于N个透射矩阵Mn(k)：

(34)

由此对于非束缚态能量E>0的粒子在势场V(x)(νn>0)中的波函数(15)，依然可以由式(17)—(21)给出，并且其波函数波幅的过渡关系依旧可以通过式(29)—(33)导出，只需要对通过对应的第n个势垒的透射矩阵加上下标n即可，亦即

(35)

(36)

3　结果与讨论

3.1单δ势垒情形

先从单个的电子从左侧入射一个δ势垒的情形来讨论。借助Wolfram Mathematica软件[6-7]，由式(17)—(21)及其衔接条件、边界条件可得出对应于电子能量为E=10 eV,20 eV,30 eV定态波函数实部图(见图1)和电子通过势垒的透射系数S和反射系数R分别与势垒的高度v0和电子的能量E的关系(图2和图3)。

图1　不同电子能量时，一个δ势垒两侧的波函数(实部)图Fig.1　Electronic energy, a wave function(solid)on either side of the barrier

图2　透射系数S和反射系数R与δ势垒的高度v0的变化关系(E=20 eV)Fig.2　The transmission coefficient S and the change of the reflection coefficient R and the height of the barrier v0

图3　透射系数S和反射系数R与电子能量E的变化关系(V0=20 eV)Fig.3　Barrier height is transmission coefficient S and the change of the reflection coefficient R and the change of the electron energy E

由图1—图3可知，电子通过δ势垒时的波函数实部以势垒所在处为对称轴，呈偶函数对称分布；随着电子能量E的不断增加，势垒高度v0的不断降低，透射系数S逐渐增大，相应的反射系数R逐渐减小；换言之，电子的能量与势垒的高度相比越大，电子的势垒贯穿效应就会越明显，即越会毫无障碍的通过势垒。

3.22个δ势垒情形

现在讨论当电子从左侧遇到两个δ势垒时的情况，以从左向右的方向为正方向。根据式(16)—(20)可得知，与定态波函数相联系的几率流密度为

(37)

图4　总的反射系数R与电子能量E的变化关系Fig.4　The total reflection coefficient R and the reflection coefficient S and the change of the electron energy E

图5　透射系数S与电子能量E的变化关系Fig.5　The reflection coefficient S and the change of the electron energy E

图6　两势垒之间J+/J0与电子能量E的变化关系Fig.6　The barrier between J+/J0 and the change of the electron energy E

据图4，5可以看到明显的共振透射现象。正方向入射的电子透过势垒后，遇到两侧的势垒壁发生反射与透射。在电子能量E满足一定条件的情况下，经过多次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使总的双势垒透射波波幅增加，从而出现共振透射。在电子能量E不断增大之后总的透射系数趋近于1，意味着反射系数趋近于0，电子会更加毫无障碍的透过势垒。

根据图6，7可以发现，当电子能量E与势垒高度v相比较小的时候，两个势垒之间的正负方向的几率流密度会在总正向入射几率流密度的基础上剧烈摆动，甚至是入射几率流密度的数十倍以上，可见共振现象的剧烈程度。随着能量E的不断增加，势垒间正向的几率流密度会趋近于入射前的几率流密度的大小，负向几率流密度趋近于0，这也说明了在势垒之间，高能量的电子会更加毫无障碍地通过每一个势垒。

3.33个δ势垒以上情形

仿照两个δ势垒的假设和讨论方法，针对3个δ势垒的势场情况进行数值模拟，最后总结出一般的结论以适用于更多势垒的情形。

图7　J-/J0与电子能量E的变化关系Fig.7　The J-/J0 and the change of the electron energy E

图8　总的反射系数R与电子能量E的变化关系Fig.8　The total reflection coefficient R and the change of the electron energy E

图9　透射系数S与电子能量E的变化关系Fig.9　The reflection coefficient S and the change of the electron energy E

从图8—图11中可以看出，除了出现总透射系数为1的共振能级外，还出现了“次共振能级”。可见，在三势垒系统中，影响其总透射系数的是一个比较复杂的能级之间的耦合，或者说是在各势垒之间正负方向上电子波动的复杂叠加。通过数值分析4个δ势垒中的总透射系数与电子能量的关系变化(图12)，可以发现该“次共振能级”仍只形成一组，并且随着势垒个数n的增加，该能级分布变得更加密集；在N个δ势垒中，相邻两个共振能级之间会存在N-2个“次共振能级”。最后，随着电子能量E的不断增加，总透射系数趋近于1，周期δ势垒对入射电子的阻碍会越来越小。

图10　J1+/J0与电子能量E的变化关系Fig.10　The J1+/J0 and the change of the electron energy E

图11　J2+/J0与电子能量E的变化关系Fig.11　The J2+/J0 and the change of the electron energy E

图12　在4个δ势垒中，总透射系数S与电子能量E的变化关系Fig.12　In the four potential barriers, the total reflection coefficient S and the change of the electron energy E

3.4非对称等间距分布的δ势垒对透射系数的影响

接下来，以两个δ势垒的情形为例，讨论δ势垒的非对称周期分布对电子总的透射系数S的影响。可由推广后的等间距分布δ势垒中波函数的衔接关系式(33)—(35)，就可以得到电子入射时总透射系数S与电子能量E随着相对δ势垒高度不同情况的变化关系(图13)。

图13　总透射系数S和电子能量E的变化关系Fig.13　The total reflection coefficient S and the change of the electron energy E

由图13可以得出结论，随着各等间距δ势垒的相对高度逐渐接近，电子的共振现象就越明显，在共振能级处形成了不完全隧穿(透射系数S≠1)。当各势垒的高度完全相同时，电子的共振达到最大，此时共振能级处的透射系数S皆为1。

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DONG J.Mathematica and College Physics Calculation [M].Beijing:Tsinghua University Press,2010

责任编辑：李翠薇

The Wave Function and Physical Properties of One-dimensionalEquidistant Distribution in δ Potential Barrier

HONG Yun

(College of Computer Science and Information Engineering, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067,China)

In this paper, by using the transmission matrix method and by solving the Schrödinger equation, the wave function and its physical properties of one-dimensional equidistant distribution of the delta potential barrier are obtained. With the numerical calculation, several characteristics of the electronic transmission coefficient and the probability current density changed with the series of the delta potential barrier energy are discussed.

tunneling effect, delta potential barrier, transmission matrix, transmission coefficient, probability current density

10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0005.007

2016-03-04；

2016-04-20.

洪云(1968-)，女，四川达州人，高级实验师，从事实验物理研究.

O562

A

1672-058X(2016)05-0029-07