等离子体可压缩Euler-Maxwell系统光滑解的适定性

冯跃红，王 术，李 新

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

等离子体可压缩Euler-Maxwell系统光滑解的适定性

冯跃红，王 术，李 新

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

考虑等离子体物理中的可压缩Euler-Maxwell系统，借助能量方法和对称子技巧，研究了三维环上的周期问题.在初值为一个小摄动的条件下，证明了当时间趋于无穷大时，该问题的整体光滑解收敛到一个非常数稳态解.

Euler-Maxwell系统；等离子体；整体光滑解；非常数稳态解

等离子体Euler-Maxwell系统通常用来描述光滑带电粒子流在电磁场中的输运现象［1-2］.它由描述流体运动的可压缩Euler方程和描述自洽电磁场的Maxwell方程通过洛伦兹力耦合而成，既具有流体力学方程的难点，也包含电磁场方程产生的困难，研究起来极具挑战性.目前有许多关于等离子体物理模型的相关研究，如小参数渐近极限问题、数值计算、解的整体存在性以及渐近性态等.对于简化的一维Euler-Maxwell系统，文献［3］运用补偿紧性法证明了熵解的整体存在性.关于小参数渐近极限问题的研究，参见文献［4］及其参考文献.对于光滑解的整体存在性及其渐近性态问题的研究，参见文献［5-9］，对于数值计算方面的研究，参见文献［10］，然而上述问题都是在Euler-Maxwell系统的常数稳态解附近展开研究的，目前仅文献［11］通过迭代法在时空Sobolev空间中对非常数稳态解的稳定性进行了研究，而在常用Sobolev空间意义下尚无非常数稳态解附近的光滑解适定性的相关研究.本文旨在回答上述问题.

1　模型与定理

本文研究形式如下的等离子体可压缩Euler-Maxwell系统:

式中:（t，x）∈R R+×T T，这里T T=（R R/Z Z）3表示三维空间中的环.未知变量分别为:密度n＞0，速度u= （u1，u2，u3），E为电场强度，B为磁场强度，压差函数h（n）满足h′（n）＞0.光滑周期函数b=b（x）≥常数＞0表示静止的离子密度.

本文研究系统（1）～（4）的周期问题，其初始条件为

满足相容性条件

为系统（1）～（4）的一个非常数稳态解.

众所周知，当n＞0时，方程（1）～（4）为可对称化的双曲组.于是借助Kato［12］的结果可知，只要初值光滑，周期问题（1）～（6）就一定存在局部唯一光滑解.

命题1（光滑解的局部存在唯一性，参见文献［12-14］） 令式（6）成立，整数s≥3.对给定常数κ＞0，初值-nν≥2κ.则如果

那么存在T＞0使得问题（1）～（6）存在局部唯一光滑解，满足:（t，x）∈［0，T］×T T，及

本文的主要结果如下.

则周期问题（1）～（5）存在唯一整体光滑解

并且对于任意t＞0，满足进而有

式中:Hs（T T）表示环T T上s阶常用Sobolev空间，其范数简记为:‖·‖s.

注:方程组（1）～（4）中速度耗散项-u在证明定理1的过程中起关键作用.

2　准备工作

对于多重指标α=（α1，α2，α3）∈N N3，记

现在设（n，u，E，B）为周期问题（1）～（6）的唯一光滑解.令

于是系统（1）～（4）可改写为

其初始条件为

满足如下相容性条件:

注意到

这里

此处

其中（e1，e2，e3）为R R3的标准正交基，I3为3×3单位矩阵.

由此可得

为一对称矩阵.从而再由 A0（n）的正定性知，式（16）关于W是可对称化的双曲组.

3　主要结果的证明

命题2（先验估计） 令式（15）成立，整数s≥3，T＞0.设U为命题1给出，定义在区间［0，T］上，周期问题（10）～（14）的局部光滑解，则存在δ＞0充分小，使得若

则对于任意t∈［0，T］估计式（7）成立.

3.1命题2的证明

证明基于以下4个引理，记常数C＞0不依赖任意时间t＞0和T，在不同的地方值可以不同.

引理1 在命题1的条件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，则对任意t∈［0，T］有

证明:对于α∈N N3，|α|≤s，对式（16）求∂α，然后乘以对称子A0（n），有

其中

由Moser型积分不等式［13-14］可得

令式（19）在空间L2（T T）上与∂αW内积可得

其中

由式（10）和Moser型积分不等式可得

直接计算可得

对于第4项，由A0和L的定义可得

接下来，对Maxwell方程（12）、（13）做标准的能量估计，可得

最终，联合式（21）、（23）～（26），关于|α|≤s求和，注意到A0的正定性可得式（18）.证毕.

引理2 在命题1的条件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，则对任意t∈［0，T］有证明:注意到

这里

于是式（10）可以改写为

对于α∈N N3，|α|≤s-1，对式（28）求∂α，然后在空间L2（T T）上与∂α内积，并关于|α|≤ s-1求和可得

显然有

因此

类似可得

故而联合式（29）～（33）可得式（27）.证毕.

引理3 在命题1的条件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，则对任意t∈［0，T］有

证明:对于α∈N N3，|α|≤s-1，对式（28）求∂α，然后在空间L2（T T）上与∂αF内积可得

现在开始估计式（35）的右端各项.首先，由式（10）与下面关系式

可得

接下来，与引理2证明过程类似，可得

最终，联合式（35）～（39），关于|α|≤s-1求和，可得式（34）.证毕.

引理4 在命题1的条件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，则对任意t∈［0，T］有

证明:对于α∈N N3，|α|≤s-2，对式（10）求∂α，然后在空间L2（T T）上与-∂αΔ×G内积可得

进而关于|α|≤s-2求和可得式（40）.这里用到了:对任意1≤i≤3，有

事实上，由ΔG=0与∂iΔ-1Δ是从Lp到Lp的有界算子［15］，1＜p＜∞，可得上述结论.证毕.

命题2的证明.首先定义

其中待定系数0＜ε＜m3＜m2＜m1＜1.注意到，i= 1，2，3，只要0＜mi＜1充分小，就有Es（U（t））≈‖U（t）‖2s.进而对式（18）、式（27）×m1、式（34）× m2，以及式（40）×m3可得

此处用到了Cauchy-Schwarz不等式.令0＜ε＜，可知:存在常数γ，C＞0使得

再由条件（17）可得，存在常数γ2＞0有

由此可得估计式（7）成立.证毕.

最后给出定理1中解的整体存在性的证明.

3.2定理1的证明

解的整体存在性可由命题1给出的局部存在性、命题2给出的先验估计式（7）结合标准的连续性讨论方法得到，参见文献［16］.进而由式（7）可得

再由系统（10）～（13）可知

故而有

于是可知式（8）成立.证毕.

4　结论

1）借助能量方法和对称子技巧，在初值为一个非常数平衡解的小摄动前提下，建立了周期问题光滑解的一致先验估计，然后利用对称双曲组光滑解的局部解存在性理论，并结合标准的连续性讨论方法，证明了该问题存在唯一整体光滑解.

2）运用泛函分析理论，证明了当时间趋于无穷大时，该解的各个分量按不同的范数分别收敛至平衡态.

3）推广了常数平衡解的稳定性理论，并对等离子体物理的发展提供必要理论依据.

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（责任编辑 吕小红）

Well-posedness of Solutions to the Compressible Euler-Maxwell System Arising From Plasmas

FENG Yuehong，WANG Shu，LI Xin
（College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

This paper is concerned with the compressible Euler-Maxwell equations arising from plasmas. By using the techniques of symmetrizer and energy method，the well-posedness of solutions to periodic problems with prepared initial values was investigated.It shows that the periodic problems have globally smooth solutions near a non-constant steady state with an asymptotic stability property.

Euler-Maxwell system；plasmas；global smooth solution； non-constant stationary solution

O 175.29

A

0254-0037（2016）02-0309-06

10.11936/bjutxb2015040046

2015-04-18

国家自然科学基金资助项目（11371042）；北京市自然科学基金资助项目（1132006）

冯跃红（1980—），男，讲师，主要从事应用偏微分方程方面的研究，E-mail:fyh@bjut.edu.cn