关于几种数学证明方法的研究

杜君花，王立，王洪艳



关于几种数学证明方法的研究

杜君花1，王立2，王洪艳3

（1. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006；2. 浙江省永嘉中学，浙江 温州 325100；3. 永嘉县罗浮中学，浙江 温州 325100）

数学证明是数学教学与学习中的一项重要内容，数学证明中最关键的内容之一就是数学证明方法的研究与分析．研究了演绎法、归谬法、构造法、反例法、逐步逼近法及计算性证明法，并对各种证明方法的概念、分类及应用进行了详细介绍．

数学证明；演绎法；归谬法

随着数学教育改革与发展的不断深入，数学证明在教师的教学和学生的学习中的重要性日趋凸现，人们已经越来越认识到数学证明方法的多样性和复杂性．因此，数学证明方法的整理与研究是值得关注的问题．论证能力是学生数学水平高低的基本标准之一，不断提高论证能力成为学习数学的基本目的之一，研究数学证明方法的根本目的就在于此．通过对各种数学证明方法的研究，将使我们思路开阔，在进行论证时，就能合理地选用证明方法．通过研究已有的证明方法，注意在使用已有的证明方法中作进一步改进，久而久之，就能创造出新的证明方法，日积月累就会产生飞跃，从而不断提高论证能力．Ahmed E E，Stefan G T，Robert J B探讨了几种数学证明方法[1]；Jeremy Avigad给出了若干数学的方法和证明[2]；Maria A等研究了数学证明在教学与认识论观点中的一些特殊问题[3]；Philippe B H等运用数学知识对Landau-Peierls公式的证明进行了研究[4]．数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明的方法是多样的，而且用法也各不相同[5-9]．本文主要对几种常用的数学证明方法：演绎法、归谬法、构造法、反例法、逐步逼近法及计算性证明法进行了研究，对它们的定义、分类及应用作了具体的分析．

1　演绎法

演绎法又称演绎推理，是指从一般原理推导出个别结论的一种思维方法，或者说从一般性前提出发推出其特殊情形的结论的推理方法．因此，演绎推理是一种必然性的推理．

演绎法是数学论证表述的基本方法，演绎法有多种形式，按因果求索关系可以把演绎法分为分析演绎法、综合演绎法以及分析综合演绎法．分析与综合在演绎推理中具有特定的意义，是数学中2种最常用的推理论证方式．值得注意的是，它们与一般思维方法的分析法与综合法是不同的．

1.1分析演绎法

所谓分析演绎法，又称执果索因法，是指由结果追溯到产生这一结果的原因的逻辑推理方式．“要使结论成立，只要条件具备”这一形式为分析演绎的基本形式．分析演绎法的思维过程可以表现为从命题的结论或所求问题的解答出发，一步一步地探索使结论成立或问题获解的充分条件，直到与题设的已知条件相一致．

分析演绎法的应用很多，在证明问题时要靠多观察、深思考、会比较、多实践、多探索，逐步逐层地找出决定一结论成立的主要因素．

1.2综合演绎法

综合演绎法，又称执因导果法，是根据原理推出结果的逻辑推理方法．“因为条件成立，所以结论成立”是综合演绎法的基本形式．综合演绎法是指从已知条件出发，寻找其成立的必要条件和有关因素的内在联系．由此逐步推演，最后推导出所要的结论的数学证明方法．

例1也可采用综合演绎法证明．

2　归谬法

归谬法是一种间接的证明方法，它是从否定结论出发，进行正确的推理，最后等待矛盾的产生，于是对原来的命题做了间接证明，解决了直接证法不能或不易解决的问题．它先提出了一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，通过进一步的正确推理，最后导致矛盾，从而否定反面假设，达到确定原命题的正确性的一种方法．

用归谬法证明命题可以分为３个步骤：

Step1反设：假设要证命题的结论不成立；

Step2归谬：把假设作为题设去证明，通过一系列正确的逻辑推理，最后推得与某些原条件的矛盾性；

Step3结论：由上述所得矛盾说明原命题成立．

3　构造法

构造法就是根据已知题设的特点，把所给条件中的元素作为“元件”，把所给的关系式作为“支架”，在思维中构造出一种新的数学形式，如构造图形、方程和函数等，以找到一条新的途径来绕过障碍，从而使要论证的问题得以解决的一种方法．构造法的核心是构造，是将形与数结合，将式与方程和函数建立联系的方法，要在数学表达的几种形式之间找到相互关系．

4 反例法

反例法是数学证明中较常使用的一种证明方法，反例法是一种特殊的数学构造法．通过反例法构造出来的数学形态，要与现存的某些数学结论构成相反的证明．数学中的反例，是指符合了某个命题的条件，却不符合该命题结论的例子．数学中的反例，是指建立在数学已证实的理论和逻辑推理的基础上的，而且具有一定否定作用的例子．举反例作为一种特殊的证明方式，它证明了“某命题不成立”为真．从一般来看，对于一个假命题，它可以构造出许多不同的反例，但在实际应用中只构造出一个反例就可以了．举反例是一种数学的构造方法，从反例的构造方法来说，反例的构造方法可分为特例选择、性质分析和类比构造３种．

例4 人们习惯性认为，在微积分中讨论连续与间断时，连续是经常的现象，但间断就像曲线的间断点一样是很少发生的．数学家狄利克雷分析了这种习惯思维的特性后，构造出了一个奇特的处处间断的函数作为其中一个反例——狄利克雷函数．

例5从微积分发展来看，人们一直认为除个别点外连续函数总是处处可导，但是数学家魏尔斯特拉斯举出了一个著名的反例．，其中：是奇整数；，并且，虽然函数在上连续，但却处处无导数．

5 逐步逼近法

若在解决一个比较复杂的问题时，快速解决起来比较困难，此时可以把原问题转化成若干个按顺序串联起来而且容易解决的问题，这些问题一个比一个更加逼近原来的问题，然后集中精力解决这些转化得到的问题就可以，这些问题的解决过程，就是运用逐步逼近法解决问题的过程．逐步逼近法是指在解决具体数学问题时采用的一步步逐渐接近正确答案的方法．逐步逼近法在数学证明中的应用非常广泛，如在圆面积、曲线弧长和无理数等方面的证明都会用到逐步逼近法．

分析可以先确定根的范围，在不断的缩小这个范围，或者无限次缩小这个范围，最终获得根的精确解；也可以经过有限步后，得到具有一定精确度的近似解．这就是所谓的逐步逼近思想．

6　计算性证明法

计算性证明法是通过计算过程进行命题论证的方法．一般来说，在数学论证中推理与计算是都要涉及到的，计算性证明便是在论证中偏于计算的一种证明方法，是较常用的一种论证方法，如关于极限、导数和积分等的等式论证．越来越多的将逻辑推演归结成各种层次的计算是现代数学的一种强烈趋势．很多不易解决的文字论证可以通过计算而变得简单，这其中用矩阵算法来证明代数命题和用矢量法来证明几何问题便是最好的证据．值得注意的是，计算性证明法要以正确而且熟练的计算能力为基础.

[1] Ahmed E E，StefanG T，Robert J B．A Rigorous Mathmatical Proof of the Area Method for Phase Stability[J]．Ind Eng Chem Res，1998（37）：1483-1489

[2] Jeremy Avigad．Mathematical Method and Proof[J]．Synthese，2006，153（1）：105-107

[3] Maria A M，Nicolas B．Introduction to the special issue on didactical and epistemological perspectives on mathematical proof[J]．ZDM，2008，40 （3）：341-344

[4] Philippe B H，Baptiste S．A Rigorous Proof of the Landau-Peierls Formula and much more[J]．Annales Henri Poincare， 2012，13（1）：1-40

[5] 李国友，扶炜．几种常见的数学证明方法[J]．信阳农业高等专科学报，2003，13（4）：70-71

[6] 何念如．类比法在中学数学教学中的应用[J]．高等函授学报，2006，20（1）：13-15

[7] 李延明．反证法教学探析[J]．数学教学研究，2008，27（8）：62-65

[8] 朱爱玲．构造法在计算方法教学中的应用[J]．山东师范大学学报，2008，23（2）：125-126

[9] 齐莲敏．“反证法”在高等数学教学中的应用[J]．湖北广播电视大学学报，2010，30（1）：20-21

Researching on the some mathematical proof methods

DU Jun-hua1，WANG Li2，WANG Hong-yan3

（1. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2. Yongjia High School，Wenzhou 325100，China；3. Yongjia Luofu Middle School，Wenzhou 325100，China.）

Mathematical proof is an important content of mathematics teaching and learning．One of the most critical content mathematical proof is to study and analysis mathematical proof methods．Studies the deductive method，reduction to absurdity，construction method，counter-example method，successive approximation method and calculation method of proof．And concepts and classification and application of proven methods are described in detail.

mathematical proof；deductive method；reduction to absurdity

1007-9831（2016）11-0059-04

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.016

2016-09-18

齐齐哈尔大学教育科学研究项目（2015109）；黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12511608）

杜君花（1975-），女，黑龙江齐齐哈尔人，副教授，硕士，从事基础数学研究．.E-mail：dujunhua1975@126.com