Banach压缩映像原理应用分析

苏新卫



Banach压缩映像原理应用分析

苏新卫

（中国矿业大学（北京） 理学院，北京 100083）

分别从空间的选取、Lipschitz常数的限制及局部解的存在区间等方面，用Banach压缩映像原理证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性．以期使初学者加深对Picard定理的理解和掌握，体会Banach压缩映像原理在微分方程解的定性理论中的灵活应用，并为常微分方程课程的教学提供参考．

Banach压缩映像；初值问题；Picard定理

Banach压缩映像原理是一个重要的不动点定理，在数学领域中应用广泛[1-3]．在微分方程解的定性理论研究中，Banach压缩映像原理作为证明定解问题存在唯一解的重要工具，在常微分方程、偏微分方程（包括分数次常微分方程和偏微分方程）和积分微分方程中有广泛应用[4-8]．

Picard定理是国内大多数理工科大学生首先接触到的讨论微分方程解的存在唯一性的基础理论知识. 其证明方法是将微分方程的初值问题转化为等价的积分方程，构造Picard迭代序列，证明Picard迭代序列的收敛函数即是微分方程初值问题的唯一解．这种经典证明方法是分析学里的基础方法，其明显优点是提供了近似解的具体求法，但对初学者来说稍显冗长．本文分别从空间的选取、Lipschitz常数的限制及局部解的存在区间等方面，用Banach压缩映像原理证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性．以期使初学者加深对Picard定理的理解和掌握，体会Banach压缩映像原理的灵活应用．

1　Picard定理和Banach压缩映像原理

对于一阶常微分方程的初值问题

解的存在性有Picard定理．

Picard定理[4]120若函数在空间中某一区域（）上连续，并且关于满足Lipschitz条件，即存在，使得当时，有

Banach压缩映像原理[3]37设是一个Banach空间，是一个非空闭集，，若存在，使得对任意，有，则有唯一一个元素，使得，即是算子的唯一不动点．

2　Picard定理的证明

证明易知问题（1）等价于积分方程

方法2在Picard定理中，限制式（2）中的Lipschitz常数满足，证明在区间上存在唯一解．

注4与方法1和方法2相比，在方法3中，既没有限制Lipschitz常数的大小，又没有改变局部解的存在区间．由于选取了不同的Banach空间，从而也保证了是压缩映照.

注5和方法1、方法2相比，方法4选取同样的Banach空间，但没有限制Lipschitz常数的大小,也没有改变局部解的存在区间．和方法3相比，方法4中Banach空间范数更加简洁．

3　结语

本文用Banach压缩映像原理证明了一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性．从几种不同的证明方法可以看到，应根据实际问题灵活应用Banach压缩映像原理讨论微分方程解的定性理论，如可以选取合适的Banach空间，适当地限制Lipschitz常数以保证算子的压缩性，也可以保证的压缩性等．一般情况下，希望在较弱的条件下，在较大区域内有解，这为如何应用Banach压缩映像原理讨论微分方程解的定性理论提供了依据原则.

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Analysis on the applications of the Banach contraction mapping principle

SU Xin-wei

（School of Science，China University of Mining and Technology，Beijing 100083，China）

From the aspects of the selection of spaces，the restriction of Lipschitz constants and the existence interval of local solutions and by Banach contraction mapping principle，proves the existence and uniqueness of solutions to an initial value problem of the first order ordinary differential equations. The aims of this paper are for beginners to deepen the understanding and mastering of the Picard theorem and experience the flexible applications of the Banach contraction mapping principle in the qualitative theory of differential equations．Meanwhile，provides some references for the teaching of ordinary differential equations.

Banach contraction mapping principle；initial value problem；Picard theorem

1007-9831（2016）11-0014-04

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.004

2016-06-01

中国矿业大学（北京）课程建设与教改项目（K150702）；国家自然科学基金资助项目（11371364）

苏新卫（1971-），女，山东宁津人，副教授，硕士，从事微分方程定性理论研究．E-mail：kuangdasuxinwei@163.com