一阶微分方程图解法教学要点分析*

王晶囡，李冬梅，赵辉，王剑飞，班立群



一阶微分方程图解法教学要点分析*

王晶囡，李冬梅，赵辉，王剑飞，班立群

（哈尔滨理工大学 应用科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080）

通过分析一阶微分方程解曲线切线斜率取值的特点，找出了解曲线的几何意义．根据解曲线的几何意义，以一个具体的一阶方程为例讲解了画出一阶方程近似解的3步法，直观地展示了一阶微分方程的几何意义．利用计算机数值模拟了具体的方程，得到了2类特殊的一阶微分方程线素场的特点以及在通解中常数的几何意义．

一阶微分方程；图解法；斜率场；等倾线；解曲线

在实际生活中，为了解决或刻画实际问题，往往根据实际情况建立微分方程，求其解来寻找答案．主要有初等积分解法、数值解法和图解法．最理想的是能够得到微分方程的解析解，但有时建立的微分方程不能利用初等积分法求解，如黎卡提方程

方程（1）无法直接求出解析解，因此常常借助数值方法或图解法来找寻近似解，从而推测方程解析解的具体情况．本文以一阶微分方程为例，从几何角度，利用图解法求出近似解，并指出需要注意的问题．首先，应从一阶微分方程及其解的基本概念出发，如果一个函数是方程

的解，那么将其代入方程（2），方程两边恒等，在此基础上，如果解函数中含有任意常数且其个数与方程阶恰好相等，则该解应为通解，不含任意常数的解为特解．如果还知道方程的初始（定解）条件，将其代入到通解中，就可以得到特解．然后，引导学生思考方程及其解在几何平面上是如何表现的，从而自然过渡到从几何角度重现方程及其解的几何意义．

1　一阶微分方程解的几何意义

图1　解曲线图

2　图解3步法及方程的几何意义

引导学生逆向思维，如果在不知道方程解的解析表达式或其解无法求出时，那么根据一阶微分方程解的几何意义，是否能画出解曲线的大致形状．这要由一阶微分方程右端二元函数值所确定出的小切线段的全体来决定．逐步引导学生按照这样的思想，以一个简单的一阶微分方程为例题，找出答案．

解首先在方程右端二元函数所定义的区域内找一点（0，1），在这一点画一条小切线段与方程在该点所画出的解相切，它的斜率应是方程右端二元函数在这一点的函数值，即．所以在（0，1）这点画出的小线段是水平的．如果想画出通解则要在方程右端二元函数的定义域每一点都要画出相应的小线段，但如果逐点画，则会太慢，也太麻烦，所以要从斜率出发，找到解曲线上所有斜率都相等的点．根据分析，斜率应该等于该方程右端二元函数在这些点的函数值，为了研究方便，可以引导学生列表格（见表1）寻找这些点.

根据表１中的结果，斜率相等的点都是直线（如=0（不等于0），…），画出这些点，然后在这些点上再画出相应斜率为的小切线段（如斜率为0，…），最后画出与这些小切线段相切又互不相交的曲线，这样得到的曲线就是解曲线（见图2）．由图2可见，例1中方程的解曲线像一族圆，那该方程的通解是否为一族圆呢．再启发学生利用变量分离积分法得到其通解，即可得到，从解的解析表达式可知方程的通解确实是一族圆，可见这种方法是可行的．从例1中还以看到每一个一阶微分方程在平面上都与其右端二元函数所确定的线素场相对应，求解方程的过程，就转换成了在平面上找出与这些小线段相切又不相交的曲线，所以得到一阶微分方程的几何意义．

表1　斜率取值表

图2　解曲线图

解该方程无法用初等解法求解，但却可以将其通解画出来，先求等倾线（见表2）．由表2可见，等倾线是圆，画出等倾线和相应的小斜线段，及与小斜线段都相切且又互不相交的解曲线（见图3）．

表2　斜率取值表

图3　解曲线图

3　思考与延伸

从画图的过程中可见，图解法思想很简单，但在寻找与小线段相切又互不相交的曲线时却有困难．人们已利用图解法的数学思想，借助计算机语言编写出程序（m文件），有了这些程序（m文件）就可以很轻松地实现图解法．只要把要画的方程的解析式输入到程序中，然后回车，就能看到方程的线素场，再点确定初值（初值），那么过该点的解曲线就会出现在屏幕上．

由图４可见=0都是这3个方程过（0，0）点的解，但不同的是，当初值在（0，0）附近扰动时，解曲线变化的趋势不同．方程的斜率场确定了积分曲线的形状，而积分曲线的形状又反映了方程解的稳定性，如方程（a）的初值受到扰动后，经过一段时间解曲线会最终趋向零解，即=0，说明方程（a）的零解是渐近稳定的；方程（b）的初值受到扰动后，经过一段时间解曲线会与零解保持一定的距离但不远离零解，这说明方程（b）的零解是稳定的；方程（c）的初值受到扰动后，其解会远离零解，这说明方程（c）的零解是不稳定的．实际上，稳定性的概念和原理可以解释许多实际问题，如夜明珠、珍珠以及水晶球等球形珠宝底座形状的设计，都是以稳定为前提，设计成凹形曲面，而不是水平面或拱形曲面．关于稳定性方面内容是学生以后要学习的内容之一，也是微分方程课程的重要理论核心内容之一．

图4　解曲线图

另外，利用计算机画出相图，可以直观地展示出：如果方程（2）的右端只是自变量的一元函数（如），那么方程（2）的等倾线都为竖直直线，而且在这些竖直等倾线上的斜率标记均是平行的；如果方程（2）的右端只是变量的一元函数（如），那么方程（2）的等倾线都为水平直线，而且在这些水平直线上的斜率标记均是平行的．从中还可以归纳出通解中存在着任意一个常数，在通解的几何表达形式也是有一定规律的，如例1中方程的通解为一族圆，而通解中的常数表示解曲线的圆半径的平方；例3中通解中常数表示当=0时，初值与0的距离；还有的通解（=2+）中的常数还表示在纵轴的截矩，这说明不同方程通解中的常数的几何意义各不相同．

4　结论

教学的目的是使学生真正对数学产生兴趣，体会到数学的价值，让学生主动找到适合自己的方法，学会学习，因此就要做好课程设计．本文以此为目的，将抽象的数学知识或表达式应用到实际问题中，或者将其直观地用图形表示，做到从点到线，用线连成面的知识整合．具体地讨论了一阶微分方程及其解的几何意义的重要性质，给出了在不求解方程的解析解的前提下，画出一阶方程解曲线的图解3步法．这种方法不但适合一阶方程，而且适合二阶方程和三阶方程，是非常实用的一种方法，可以刻画和预测一些实际问题．

[1] 毛鸣清．微分方程通解的几何意义[J]．成都纺织高等专科学校学报，1994，11（3）：25-27

[2] 任永泰．方向场在等角轨线中的应用[J]．烟台师范学院学报：自然科学版，1988，4（1）：69-73

[3] 吴丹桂．微分方程与数学建模[J]．景德镇高专学报，2000，15（2）：6-14

[4] 王玉文，史俊平，侍述军，等．常微分方程简明教程[M]．北京：科学出版社，2010

Teaching key analysis of phase graphic solution method of first-order differential equations

WANG Jing-nan，LI Dong-mei，ZHAO Hui，WANG Jian-fei，Ban Li-qun

（School of Applied Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Through analyzing the value characteristics of the slope of of first order differential equations，find the geometric significance of solution curves．According to the geometric significance of solution curves，by taking a specific first order differential equation as an example，illustrated the three-step method of sketching the solution graphs，and intuitionally show the geometry significance of the first order differential equation．Finally，by using numerical simulation，obtain the slope field characteristics of two special first-order differential equations，and the geometry significance of the constantin the general solution．

first-order differential equations；phase graphic solution method；slope field；the curve of same slope line；solution graphs

1007-9831（2016）11-0055-04

O175∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.015

2016-09-07

哈尔滨理工大学教学改革项目（320150023；320150020；120150006；120140004；B201300026）

王晶囡（1978-），女，山东平度人，副教授，博士，从事微分方程研究．E-mail：wangjingnan@hrbust.edu.cn