矩阵秩的新定义

刘忠志



矩阵秩的新定义

刘忠志

（广东白云学院 基础教学部，广东 广州 510450）

论文对矩阵的秩有新的定义，这个新定义通俗易懂，有所创意，教学效果好，深受学生欢迎。

矩阵；矩阵的行初等变换；矩阵秩的新定义；齐次线性方程组；高斯消元法

1　传统矩阵秩的定义

几乎所有的线性代数教材中矩阵秩的定义都是这样定义的。这样定义矩阵的秩当然有它的好处。但是，对于应用型本科（二本、三本）学生来说认为比较抽象，较难理解。因此我们采用如下定义。

2　矩阵秩的新定义

我们先定义阶梯阵和规范阶梯阵，再定义矩阵的秩。

注：若矩阵的某行元素全为0，则该行称为0行；至少有一个元素不为0的行称为非0行。

定义2 （规范阶梯阵定义）若阶梯矩阵满足下面两条:

（1）每个非零行的首个非零元是1；

（2）每个非零行的首个非零元1所在列的其他元素全为0。

则这样的阶梯阵称为规范阶梯阵。

上例阶梯矩阵(3)是规范阶梯阵(是前一矩阵用行初等变换化来的)。

定理1 任何矩阵都可以通过单独的行初等变换化为阶梯阵，进而化为规范阶梯阵。

同理可以考虑第二列，设第二列的第二个至最后一个数至少有一个非0（否则，考虑第三列，依此类推），则经过若干次行初等变换可以化为其中，，*表示数。同理可以考虑第三列，设第三列的第三个至最后一个数至少有一个非0（否则，考虑第四列，依此类推），如此继续下去，经过一系列行初等变换，最终得到阶梯阵。进而化为规范阶梯阵（化法是用行初等变换把上述矩阵中化为1，再用行初等变换把这些1所在列的其他数化为0即可）。

可知这样化出来的阶梯阵非0行的行数与规范阶梯阵非0行的行数相同。这个数其实就是矩阵的秩，但是这个数的唯一性还没有得到证明，下面证明这个数的唯一性。

有的齐次线性方程组一眼看出有效方程的个数，例如线性方程组，第二个方程等号两边同除以2即为第一个方程，所以第二个方程是无效方程，只有一个有效方程。此线性方程组所对应的矩阵，只有一个非0行，“非0行的行数”=“有效方程的个数”，而有的齐次线性方程组一眼看不出有效方程的个数（因有时某一方程的左边是其余若干个方程左边的线性组合），可以用高斯消元法求出其有效方程的个数，进而求出方程组的解。通常首先把齐次线性方程组所对应的系数矩阵写出来，再把用行初等变换化为阶梯阵或规范阶梯阵，以此阶梯阵或规范阶梯阵非0行的行数来确定有效方程的个数，进而求出方程组的解。

这样我们可以定义矩阵的秩如下：

这样定义矩阵的秩比较直观，容易使学生弄懂。

本文认为矩阵秩的新定义，直观易懂，容易使学生接受。

还有一点需要注意的是，高斯消元法的产生在前，矩阵的秩产生在后：高斯消元法是高斯（1777年生—1855年死）发现的，而矩阵产生公布于世的时间，是凯莱（1821年—1895年）在1858年（高斯去世后），发表了世界上矩阵第一篇论文“矩阵论的研究报告”，定义了矩阵运算法则，矩阵转置及矩阵逆等一系列概念。但是矩阵的秩是弗罗伯纽斯（1849年—1917年）在凯莱发表矩阵论文之后引进的。在高斯消元法产生的那个时代，还没有已公布的矩阵概念。所以我们利用齐次线性方程组的高斯消元法及其有效方程个数的唯一性来证明矩阵化为阶梯阵或规范阶梯阵后非0行的行数是唯一的，合情合理。

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007: 65-66.

[2]上海交通大学数学系.线性代数[M].上海:上海交通大学出版社,2009:84-85.

[3]赵树源.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

[4]吴赣昌.线性代数与概率统计[M].北京:中国人民大学出版社,2007:41.

（责任编校：何俊华）

2016－01－20

刘忠志（1959－），男，湖南永州人，广东白云学院副教授，研究方向为教学研究。

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1673-2219（2016）05-0009-02