美式期权定价优化模型及隐含波动率计算

2016-10-10张艳萍

长治学院学报 2016年2期

关键词：行权美式期权

张艳萍

（山西工程职业技术学院基础部，山西太原030009）

美式期权定价优化模型及隐含波动率计算

张艳萍

（山西工程职业技术学院基础部，山西太原030009）

在无套利假设下，自由边界的Black-Scholes方程可以等价地转化为一个含有微分算子的互补问题，利用传统差分方法离散微分算子并且将波动率视为变量，原问题变为非线性互补问题；进而转化为优化问题，并且加入新的历史价格约束，给出可求解美式期权价格并可计算隐含波动率的优化模型。数值实验表明其有效性。

美式期权定价;Black-Scholes模型;非线性互补模型;历史数据;隐含波动率

期权是一种能让持有者在未来某个时间以提前敲定的价格买入或卖出一定数量的某种金融资产的合约[1]。在未来以一定价格买入某资产的期权称为看涨期权，卖出某资产的期权称为看跌期权。常见的期权包括欧式期权与美式期权，欧式期权是指只能在到期日当天行权的期权，美式期权是指可以在到期日之前的任何日期行权的期权。投资者买卖期权通常有两类动机：一类为对市场价格进行投机以赚取高利润或利用价格变化进行套利；另一类为对冲投资者所持有的股票头寸的风险。因此期权本身具有价值，持有者为了获得期权必须付出一定费用。期权定价则是对期权的价值进行合理的度量。

由Black和Scholes在1973年创立的Black-Scholes （B-S）期权定价理论及模型[2]，已经成为现代期权定价理论的基石。欧式期权的价格能够由B-S模型直接导出解析解；美式期权由于行权日期不固定，定价比欧式期权更为复杂，一般使用数值方法，主要包括二叉树法、蒙特卡罗法、有限差分法等。二叉树法的基本原理为使用二叉树模拟标的资产价格变化路径，然后倒推计算美式期权价格[3]。有限差分法的基本思想为将期权价格满足的偏微分方程近似为差分方程，然后将期权定价问题转化为一个线性互补问题求解[4,5]。蒙特卡洛方法则是使用模拟的思想，随机产生多个标的资产价格的可能路径，利用这些模拟结果从统计角度出发计算期权收益的估计均值，然后使用无风险利率对这个均值计算贴现，从而得到期权价格的估计[6]。

在B-S定价模型中，期权价格依赖于标的资产的价格、敲定价格、期权有效期，无风险利率和资产价格的波动率，并假定这些量是常量。敲定价格以及期权有效期是由合约规定的确定值，无风险利率可以用公债利率来估算。然而标的资产的波动率会因不同的时间段有所起伏，并且市场中不同的投资者对波动率有各自的判断，因此无法直接确定波动率。另外，在实际的期权交易中，历史价格是过去人们对期权价格的认识和判定，其包含的信息和市场认知仍然会影响期权未来的价格，因此不参考历史数据，直接使用随机模型计算得到的期权价格，在较长时间跨度下会与实际观察到的市场价格有较大偏差[7]。文章考虑在波动率为变量的情况下，将与美式期权定价模型等价的互补模型转化为非线性互补模型再转化为优化模型，然后加入历史数据约束条件，使模型可以在计算期权价格的同时计算隐含波动率。

1　美式期权定价的互补模型

我们遵循B-S模型建立时需成立的假定条件。设标的资产在时刻t的价格是S，期权价格记为V（S，t），则可得V（S，t）应满足偏微分方程：

此方程称为Black-Scholes方程[2]。

接下来给出美式期权定价的互补模型[3,8]。由于美式期权可以在截止日之前任意时刻行权，我们在计算期权价格的同时，还要考察每个时刻标的资产的价格来决定是否行权，因此这是一个自由边界问题。这类问题中自由边界很难处理，需要转化为不依赖于边界的形式来求解。一种常用的求解方法为转变为互补模型进行计算。

在实际交易中，美式期权的持有者一般无法把握最佳行权时机，所以购买期权的获利可能会低于将购买期权的资金存入银行的获利。又由于Black-Scholes模型建立时的无套利假设，投资者无法通过借款买入资产获得可保证的无风险收益。从这两点出发Black-Scholes方程可以变为以下不等式：

设美式期权在时刻t的收益Λ(S, t)为期权买方立即执行期权的情况下所能得到的收益。看涨期权的获益函数为Λ(S, t)=max(S( t)−E,0)，看跌期权的获益函数为Λ(S, t)=max(E−S( t),0)，其中E是敲定价。在无套利假设下美式期权价格应高于其收益否则交易者会立即购买美式期权并且选择行权从而获得无风险的收益。因此期权价格应满足：

期权的买方持有美式期权时可以选择行权或者不行权。如果行权，根据价格原理此时期权价格应等于期权收益；如果不行权，美式期权则等同于欧式期权进而有方程（1.1）成立。由此可得带微分算子的互补问题：

联合式（1.2），（1.3），（1.4），可以得到美式期权价格满足以下互补条件：

将时间与资产的价格离散化，同时将波动率σ看做为变量，此时问题（1.5）可转化为一个有限维非线性互补问题。假设时间从0时刻开始T为期权合约的到期日，我们将整个区间[0，T]等分成L个子区间，为了计算简便区间长度相同各端点记为：

根据实际情况，我们可假定标的资产价格在一个合理范围内变化，我们也将价格区间[Smin，Smas]划分为N个等长的子区间，记作：

为了表达方便，n可以从1开始。

离散化期权价格以及收益为：

进一步在步长为δt和δS的均匀网格上使用差分法逼近偏微分方程互补问题（1.5）。利用如下向前差分逼近对时间的一阶偏导数：

利用θ1权中心差分逼近对S的一阶偏导数：

同时利用θ2权中心差分逼近对S的二阶偏导数：

其中，θ1，θ2∈[0，1]是给定参数。

由式（1.9），（1.10），（1.11），问题（1.5）可以转化为如下的有限维互补问题：

其中符号⊥表示两个向量直交。Vl和 Λl是N维向量，定义如下：

M是N阶方阵

它的元素由以下公式给出：

M同样为N阶方阵，和M的定义相同，各元素为：

进一步，式（1.12）可变形为如下的互补问题：

期权在到期日之后将会失效，因此期权持有者需要在到期日当天选择是否行权。也就是说，到期日当天美式期权的价格就等于其收益，即VL=AL。而VL是已知的，因此根据互补问题的递推形式，当l分别取值为l=L-1,L-2,L1,0时，利用在时间方向上的倒推求解互补问题（1.12）和（1.13）。

2　美式期权定价的优化模型

为了求解互补问题（1.13），我们考虑一种常用的NCP函数[8]：Fischer-Burmeister函数φ：R2→R

其中v是一个正参数。我们可证明

进而可得互补问题（1.13）等价于方程组

根据残量极小化方法及新定义的函数，期权定价问题可以转化为下面的优化问题：

在实际市场中，从期权发行日到截止日都可以进行期权交易，当期权交易发生后就有历史价格，历史价格是人们过去对期权价值的判断，会直接影响到当前期权的价格，如果仅满足B-S模型的假设条件，解决优化问题得到的结果和实际市场价格可能有较大的偏差。因此我们可以考虑加入期权的历史价格作为优化问题（2.1）的约束条件。

设期权到期日为T，开始记录历史价格的日期为0时刻，历史记录结束的时刻为T1时刻。由历史记录我们可知，从0到T1的前一时刻期权和标的资产的市场价格。由于我们已将时间和资产价格离散化，不妨设T1=tl1=l1δt。当0≤l≤l1-1时，我们设tl时刻期权对应的标的资产的价格为Rl其为已知的。而对于每个Rl（0≤l≤l1-1）其不一定恰好位于某个价格区间的节点Sn上，假设Rl恰好位于第nl个区间，也就是：

此时期权的价格无法用离散后的价格直接标示。先考虑看涨期权，已知tl时刻标的资产的价格为Rl，设此时看涨期权的价格为V（Rl，tl），由期权价格的单调性可知tl时刻离散后各节点处的看涨期权价格V（Snl，tl），V（Snl+1，tl）应满足价格约束：

相应地，tl时刻看跌期权价格应满足：

在交易市场中，价格受到多种因素影响，真实的市场价格往往和B-S模型推导出的理论价格有较大的偏差，有时由于投资者信心或某一宏观因素其价格会发生严重偏离。当实际价格超出理论上的合理区间，太过严格的历史价格约束可能使得优化问题规模过大或无可行点，因此我们需要事先排除一些不合理的历史数据，并且适当地放松不等式约束。

在上述不等式约束中加入松弛变量允许价格有一定的偏离，条件（2.3）修正为：

由上述分析，看涨期权定价的优化模型修正为：

看跌期权形式与看涨期权相类似。

3　数值试验

对于互补问题，其本身需依分量满足非负条件

同时由互补条件

可知其每个对应分量的乘积都为零，即：

因此为增强数值稳定性我们采用有效集方法计算问题（2.6），须注意的是在这里我们假设波动率σ为变量，可以通过优化模型计算得出，称之为隐含波动率。

选择香港交易所2013年4月29日到期的中国移动敲定价E=75的看涨期权为研究对象，股票及期权价格均按港元计算。根据香港公债发行情况可设年利率r=0.00242，选取θ1=1/2，θ2=1/2，λ=10。由获取的股票价格信息，设Smin=78，Smax=88，N=10取一年，离散模型时间间隔取为5天，即δt=5/365。假设当前时间为期权到期日之前的第46天，已知当前时间之前一天直到到期日之前第60天的期权价格和标的资产价格，求解到期日前第5天到第45天的期权价格以及隐含波动率；在股票价格位于离散区间内时，利用计算得到的节点价格线性近似对应的期权价格。篇幅所限，仅列出期权从到期日前60天到到期日前40天10个节点的价格，由模型我们假设前3个节点为已知历史价格，利用标准互补模型和本文改进的优化模型预测后几个节点的价格，并与实际采集到的数据相比较。所有模型的计算均使用OptiToolbox软件包。

由改进的优化模型计算得到的隐含波动率为σ=0.0382，由近期股价统计数据估计的波动率为σ=0.16492。

表1　E=75看涨期权价格计算结果比较Tab.1 Comparison for E=75 call option

实验数据表明，和标准互补模型比较，优化模型计算得到的解更符合市场真实的价格变化。由于实际历史价格会对人们产生锚定影响，从而影响后续的期权价格，当市场受到宏观因素影响产生较大幅度偏离和波动时，期权价格会长时间偏离传统模型给出的理论价格。而由非线性互补模型转化而来的优化模型由于考虑了历史价格的影响和可变的隐含波动率，对期权的预测更加合理，能更好地反映出历史价格和宏观因素对期权价格的影响；同时由于引入了松弛形式，保证了原问题的可行性，使优化模型对各种实际问题和数据有更好的适应性和灵活性，也使得优化模型求得的解与真实价格更为相近；由优化模型计算出的隐含波动率明显区别于由股票价格统计数据估计的波动率，说明了模型假设的合理性。

4　结论

美式期权定价问题的实质是动边界问题，互补模型是求解这类问题的一种较为有效的数值方法。文章考虑在实际市场中期权的历史价格会对其当前价格产生影响，因此在将波动率不确定的互补模型转化为优化模型的基础上，加入了历史数据对期权定价的约束条件，并对其进行优化求解。数值试验表明了模型得到的期权价格与市场数据更贴近，更能反映市场动态。

［1］Hull J C.张陶伟译.期权、期货和其它衍生产品[M].北京:华夏出版社,2000.

［2］Black,F.,Sholes,M.The pricing of options andcorporate liabilities［J］.Journal of Political Economy, 1973,81（3）:637-654.

［3］田文昭.金融资产的定价理论与数值计算:附C++程序[M].北京:北京大学出版社,2010.

［4］Huang,J.,Pang,J.S.Option pricing and linear complementarity[J].The Journal of Computational Finance,1998,2(3):31-60.

［5］KenjiHamatani,MasaoFukushima.Pricing AmericanOptionswithUncertainVolatility through Stochastic Linear Complementarity［J］. ComputationalOptimizationandApplications, 2011,50(2):263-286.

［6］Telly,J.A.Valuing American options in path simulation model［J］.Mathematics and economics, 1995,16(2):166-169.

［7］张艳萍.带历史价格约束的美式期权定价线性互补模型［D］.大连：大连理工大学，2013.

［8］韩继业,修乃华,戚厚铎.非线性互补理论与算法［M］.上海:上海科宁技术出版公司,2006.