线电荷与接地开缝平面导体所形成的电场

2016-10-10王福谦

长治学院学报 2016年2期

关键词：等势线开缝电场线

王福谦

（长治学院电子信息与物理系，山西长治046011）

线电荷与接地开缝平面导体所形成的电场

王福谦

（长治学院电子信息与物理系，山西长治046011）

线电荷与接地开缝平面导体所形成的电场的研究，可通过复数坐标系Z上的施瓦茨—克利斯多菲变换及其反变换，将ζ平面上宽度为S的开缝平面导体，映射为Z平面上的无开缝平面导体，利用平面镜像法计算线电荷与无开缝平面导体所形成的电场，再通过施瓦茨—克利斯多菲的反变换关系，得到线电荷与开缝平面导体所形成的电场，并根据该电场的复势，利用软件MATLAB绘制出其电场线和等势线图。由线电荷与开缝平面导体所形成电场的电场线与等势线图，可以部分地说明利用金属网罩而无须空腔导体就能够实现静电屏蔽的原理。

线电荷；接地开缝导体平面；施瓦茨—克利斯多菲变换；复势

关于线电荷与接地开缝平面所形成的电场，通常的解法是求解电场所在区域的泊松方程，但该问题中的静电场边界形状比较复杂，边界的一部分为带有缝隙的导体板，其余边界则位于无限远处，用分离变量法和格林函数法求解电场的分布遇到了困难。为了简化此边值问题的求解，文章将首先通过施瓦茨—克利斯多菲变换，消去接地导体板上的开缝，实现从广义四角形到上半平面间的变换，然后利用镜像法求解场的分布。

1　变换与反变换函数

设有接地大金属板带有宽度为S直缝隙（如图1所示），在导体板的上方，平行于开缝方向放置一电荷线密度为λ的带电线，对于此平行平面场，取垂直于荷电线的任一截面为复平面ζ，并在此平面上建立直角坐标系，坐标原点为导体板开缝的中点，带电线在该复平面上的位置为P（ξ0，η0）。

图1　线电荷与接地开缝平面导体

图2　由广义四角形到上半平面的映射

表1　

下面利用施瓦茨—克利斯多菲变换公式，求出变换函数。对于此变换情形，施瓦茨—克利斯多菲变换公式的具体形式[1]、[2]为：

式中A、B均为积分常数（复数）。

按表1，对选取的xi，由式（1），有

式（3）、（4）为通过施瓦茨-克利斯多菲变换得到的变换与反变换函数。式（3）可实现Z平面的上半平面[见图2（b）]到w平面上的广义四角形内域[如图2（a）]的变换。在Z平面上以S/2为半径作一半圆，则将上半平面化分为如图3（a）所示的1、2、3、4四个区域，经分析与计算，ζ平面上如图3（b）所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限与Z平面四个区域的对应关系及反变换式，由图3和式（5）给出。

图3　Z平面上的四个区域和ζ平面上的四个象限

2　ζ平面上电场的复势

对于线电荷在ζ平面上的位置P（ξ0，iη0），设P位于第一象限,则变换后线电荷在Z平面上的位置为：

据式（6），可由平面镜像法得出Z平面上半空间的复电势分布[3]为：

由变换式（4），得ζ平面上的复势为：

由式（5）可知,对于ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，上式中的号取+号；对Ⅱ、Ⅳ象限上式中的±号取-。

对式（9），由ζ=ξ+iη，得：

上式对ζ平面上的Ⅰ、Ⅲ象限，式中的±或m号取其上号，而对Ⅱ、Ⅳ象限则取其下号。

式（10）为ζ平面上的静电场复势表达式。显而易见，其实部为电势函数u，利用电势与场强的微分关系E=-▽u可得到线电荷与接地开缝平面所形成电场的场强的矢量表达式；而分别令复势的实部和虚部分别为常数，则可方便地得出该电场的等势线方程和电场线方程。

3　电场线与等势线图及其所反映的场的特征

图4　线电荷与接地开缝导体板所形成电场的电力线和等势面图

图4为利用数学软件MATLAB由复势函数式（9）绘制出的线电荷与开缝接地平面所形成电场的电场线和等势线（面）的分布图（绿色曲线代表电场线，彩色曲线代表等势线，电势单位为λ/2πε0，λ=10-8C/m，S=2 m，ξ0=2 m，η0=2 m）。

由图4可以看出线电荷与开缝接地平面所形成电场的分布特征：电场线均垂直于导体平板表面，在这一点上并没有受到板上缝隙的影响，与物理实际相符合；电场线的绝大部分终止于接地开缝导体板的上表面，只有少量的电场线穿过了缝隙并终止于导体板的下表面或无穷远处，这反映出导体板下方的电场远比上方弱，并且导体板上的缝隙宽度越小，板下方的电场越弱；在缝宽一定的情况下，距缝隙下方越远的地方，场强越小，超过一定的距离，便可认为场强为零。由此可以解释利用金属网罩而无需使用空腔导体即可获得很好的屏蔽效果的原因。

［1］吴万春.电磁场理论[M］.北京：电子工业出版社，1985.

［2］梁昆淼.数学物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［3］沈熙宁.电磁场与电磁波［M］.北京：科学出版社，2006.