线电荷的电力线和等势线的MATLAB 作图

易学华，郭俊广，曹人平

（嘉应学院 物理与电子工程学院，广东 梅州 514015）

0 引言

在电磁学[1]和数学物理方法[2]的教学过程中，往往要画电力线和等势线.等量异号和等量同号的点电荷电力线[3-4]和直线电荷[5]以及带电球体[6]的电力线和等势线都比较好画，不等量的直线电荷对的电力线和等势线则比较麻烦，而用MATLAB[7]中函数则简单得多.将图形制成文件，插在教案中，对电磁学和数学物理方法教学很有帮助.

1 无限长直线电荷

1.1 直线电荷的电力线

真空中无限长带电直线的场强大小为

其中λ是线电荷密度，ε0是真空介电常数，r是场点P(x,y)到轴线的距离.电场呈轴对称分布.取λ＞0，电力线是以轴线为起点的射线簇，各射线之间的夹角相同.

1.2 无限长线电荷的等势线

以某点为零势点，该点与轴线的相距为a，则场点P的电势为

等势面是以轴线为中心的圆柱面.取一个垂直于轴线的垂面，等势线就是一簇簇的同心圆.

设k=λ/(2πε0)，取r0为第一条等势线的半径，其电势为

取ΔU为电势的增量，则相邻等势线的电势为U=U0+ΔU，该等势线的半径为

重复上述步骤，就能决定其他等势线的半径，相邻两条等势线的电势差都是相同的.图 1 表示正的直线电荷的电力线和等势线，电荷的线密度为λ=10-9C/m，a=1 m 处为电势零点；越往中心，电势越高，等势线也越密.

图1 带正电的直线电荷的电力线和等势线示意图

2 等量异号无限长直线电荷

2.1 电力线

C是由起角决定的常数.由于电力线起始于正电荷，终止于负电荷，所以每条电力线都是一段圆弧，而上下两条对应的电力线形成一个圆.

图2 等量异号无限长线电荷的电力线示意图

2.2 等势线

还可以证明，等量异号无限长线电荷的等势线方程为[5]

这也是一个圆，圆心在(C,0)，其半径为

C是由电势或起始点决定的常数.

如图3 所示，第一条经过点P0(x0,0)的等势线的常数为

图3 等量异号无限长线电荷的等势线的起点示意图

由此可计算圆的半径，画出一条包围右边电荷的等势线.根据对称性，又能画出包围左边电荷的等势线.为了决定其他等势线的位置，先要计算第一条等势线的电势.取o点为零势点，由(2)式可知，两线电荷在场点P产生的电势为

将x代入(10)式就能计算新的常数C，然后由(9)式计算圆的半径R，从而画出新的等势线.其他等势线经过x轴的位置都能用这种步骤求出.等量异号无限长带电直线的电力线和等势线如图 4 所示，电荷的线密度为，两线相距2a=0.04 m.这些曲线是关于x轴和y轴对称的，中间的竖线是零势线，图例表示正电荷周围等势线的电势.

图4 等量异号无限长直线电荷电力线和等势线

3 等量同号无限长直线电荷

3.1 电力线

两无限长带电直线，电荷线密度λ1=λ2=λ＞0，相距为2a.如图5 所示坐标系，可以证明，等量同号无限长直线电荷的电力线方程为

图5 等量同号线电荷的电力线起点示意图

3.2 等势线

等量同号无限长带电直线的电力线和等势线如图6 所示，这些曲线也是关于x轴和y轴对称的，经过原点的等势线是零势线.(x,0)就是新的等势线的起点坐标，用上述方法可以计算和画出新的等势线.

图6 等量同号线电荷的电力线和等势线

4 不等量无限长直线电荷

4.1 电力线

如图7 所示，两线电荷的线密度λ1和λ2不一定相等，相距2a，它们在场点P产生的场强分别为

图7 线电荷对的电场

4.2 等势线

图8 不等量同号线电荷的电力线和等势线

图9 不等量同号线电荷的电力线和等势线

5 结语

如果电力线或者等势线能用为x或y的显式表示（包括圆），直接用表达式就能计算函数值法并画曲线.如果电力线不能用显式表示，用MATLAB 的ode 函数特别有效.当电势的变化规律比较复杂时，用等高线函数画等势线最简单.当两个线电荷等量时，用切线法和等高线法都能画出如图 4 和图6 所示的电力线和等势线.

用MATLAB 画电力线和等势线有很多优点，图形标准、精确、易于调整.将电力线和等势线的图片应用于数学物理方法[8]以及其它物理课程教学中，很能说明问题,对学生理解电力线和等势线的物理意义起到很重要的作用，能够更好地帮助学生学习抽象的数学物理方程.