教材习题微改编的操作与实践

2016-09-21浙江省宁波市奉化市剡溪中学范锦君

中学数学杂志 2016年10期

☉浙江省宁波市奉化市剡溪中学范锦君

教材习题微改编的操作与实践

☉浙江省宁波市奉化市剡溪中学范锦君

波利亚指出：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”教材习题显然符合这样的特点，它具有典型性、可延伸性，或传递某种数学方法，或渗透某些数学思想，或揭示某个数学结论，其重要性不言而喻.目前教材习题的设置往往适切于本章或本节教学内容，形式上比较单一，缺乏“一点多式”“一题多变”的灵活性，难以满足不同学生在数学上的不同发展.近年来，很多学业考试的试题改编自教材习题，因此，对它们不能停留于就题论题，而应根据学生实际情况进行适当改编即微改编，围绕其核心价值部分进行引申、挖掘.这样不仅能产生触类旁通、举一反三等让习题增值的效果，而且能开阔学生的思路，培养学生的创造力.

改编教材习题首先要解决的是习题源的选择问题，教师可以结合教学实际，选取基础性好且有良好发展空间可塑性强的习题.那么，如何进行习题的微改编呢？这里笔者将习题改编着眼于教师易操作、入手快的微改编上，通过几年的实践，探索形成了“一拆三变”微改编策略，供读者参考.这种改编方法的要点是先将习题源拆分为条件与结论两部分，然后运用三种变换方式得到一系列新试题.具体操作如下所示.

变条件即通过强化、弱化条件或者条件与结论置换，拓展知识的深度和广度；变结论即改变或转换设问的考查目标、呈现形式（如开放、探究式）与习题题型，纵向挖掘，横向发展，增强思维的灵动性和深刻性，理清知识之间的相互联系；变背景即改换图形、情境等，追求知识本质的理解和提升学生的建模能力.这样通过先拆后变的改编方法在原题的邻近区域内产生新试题，使原题达到化熟为生、化生为熟的效果.

一、变条件

例1如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.

图1

本题是浙教版课标教材八年级下册“4.5三角形的中位线”中典型的四边形与中位线结合的习题，为后续学习矩形、菱形、正方形等相关试题起到了很好的“水龙头效应”.在教学过程中，很多教师并没有真正挖掘其习题功能，更多的是通过增加对角线条件使其逐步特殊化.当然如此处理不可谓不好，对于理清几种特殊四边形的判定方法应该是很有帮助的，但始终感觉缺乏对学生思维能力的提升.笔者将本题的“中点”这一条件逐步弱化，尝试作了如下改编.

问题1：已知E、F、G、H分别是四边形的边AB、BC、CD、DA上的点，且不是中点，能否使四边形EFGH仍为平行四边形？

如图2，在AB上任取点E（E不是AB的中点），过E分别作EF∥AC，EH∥BD，F、H分别在BC、AD上，过F作FG∥BD，G在CD上，连接GH.由 EF∥AC，EH∥BD，FG∥BD，分别得，从而得，于是可得GH∥AC.这样就证明了四边形EFGH为平行四边形.

图2

由于E是AB上任意一点，因此问题1中的平行四边形EFGH有无数个，那么在这无数个平行四边形中，能否找到菱形呢？又得到了以下的问题.

问题2：在问题1的条件下，能否得到菱形EFGH？

如图3，要找到E点并不困难，只需延长AC到K，使CK=BD，连接BK，过C作CE∥BK，交AB于E，再利用问题1的作法，可得四边形EFGH为菱形.

图3

这样已经弱化了中点的条件，但四边形EFGH的边与四边形ABCD的对角线仍是平行的，能否继续弱化使之成为一个新问题？

问题3：在四边形ABCD的边上能否找到点E、F、G、H，使它们不是各边中点，且与AC、BD不平行，但四边形EFGH却是平行四边形？

如图4，在AB、BC上分别取点E、F，以FE、FC为邻边作平行四边形EFCK，过K作HK∥CD，过H作HG∥CK，连接FG、EH，四边形EFGH一定是平行四边形.

图4

图5

问题4：按照问题3的要求，能否使所得到的四边形EFGH为菱形？

如果参照问题3的方法，通过计算EF、FG的长，由EF=FG，求E、F的位置，显然有很大困难.菱形的对角线的特性：菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，为解决问题4提供了思路.如图5，只要延长AB和DC，使它们交于点P，作∠APD的角平分线交BC、AD于F、H，作FH的垂直平分线，交AB于E，交CD于G，四边形EFGH就一定是一个菱形.

这里需要指出以下两点：一是E、G可能落在BA与DC的延长线上，我们不妨认为也是可以的；二是当AB∥CD时，点P无法得到，可通过延长BC、AD得到P.如AB∥CD且BC∥AD时，可过AC、BD的交点任意作两条互相垂直的直线得到菱形.

评析：对习题的条件进行变换是改编习题最基本的形式.它能将一个问题从多个角度或反向来研究，通过将条件弱化或增强转化为新问题，引导学生对数学问题进行引申、推广，促使学生积极思考，寻找解决问题的方法，加深学生对知识的系统理解，增强学生解题的应变能力，培养学生自主探究、合作学习的能力.

二、变结论

例2如图6，正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，AE=CD.连接AD、BE交于点P，求证：∠APE=60°.

图6

本题是浙教版课标教材八年级上册“特殊三角形”目标与评定中一道经典老题，很多教师围绕图中的两对全等三角形做文章.仔细研究发现蕴含其中的六对相似三角形更是本题的亮点，笔者利用这一发现，设计如下试题.

如图6，正三角形ABC中，AB=6，D、E分别在BC、AC上，AE=CD.连接AD、BE交于点P.

（1）求证△ABE≌△CAD；

（2）若AE=CD=4，求EP的长；

（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径的长.

图7

整题短小精干，梯度明显，将全等、三线合一、勾股定理、方程、相似、圆等知识融合其中，尊重学生在学习数学方面的差异.第一问起点较低，却为后续探究作好了铺垫，第二问要求学生在熟悉情境中探寻陌生问题的解决方法，发现图中的两个三角形△APE和△BAE有公共角∠AEB，并且∠PAE=∠ABE，于是△APE∽△BAE，从而将求EP的长转化为求BE的长，利用三线合一和勾股定理，过点B作AC边上的高，不难求得BE=2，于是EP=此小题还可设问求AP的长.也可以连接DE，若∠AEB=∠CED，求AE的长.第三问将静态变为动态，思维能力继续提升，为一些优秀学生提供了展示自己的舞台.如图7，首先经过尝试画图不难发现点P的路径为一段圆弧，当E为AC的中点时，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，所以∠AOB=120°.因为AB=6，所以OA=2，点P的路径为

评析：通过对习题结论的改变，考查目标、设问视角相应发生改变，要求更全面地理解、分析、归纳各种关系，同时结合教学实际激发学生的探索欲，达到活跃思维、强化思想方法的掌握。

三、变背景

例3观察下列多项式，4a+b，8a+4b，12a+9b，16a+ 16b，…，则第n个多项式可表示为_______.

本题难度不大，但背景老套，缺乏鲜活感、层次感.在初三复习阶段笔者将其改成含三个层次，蕴含探寻规律、方程、函数等知识的试题.

观察下表：

序号1 2 3…图形aa b aa aaa bb aa bb aaa aaaa bbb aa bbb aa bbb aaaa…

我们把某格中字母的和所得多项式称为“特征多项式”，例如，第1格的“特征多项式”，为4a+b.回答下列问题.

（1）第3格的“特征多项式”为______，第4格的“特征多项式”为_____，第n格的“特征多项式”为______.

（2）第1格的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16，

①求a、b的值.

②在此条件下，第n格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出相应的n的值；若没有，请说明理由.

本题将代数式规律以表格型辅以新定义形式呈现，令人耳目一新，问题的设置起点低、梯度明显，有利于不同层次学生的发挥.彰显了新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是坚持学生“可持续发展”理念的体现.

例4已知：如图8，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和.求证：这三个正方形的边构成的△ABC是直角三角形.

图8

本题是浙教版课标教材八年级上册“探索勾股定理”中判定直角三角形的一道试题.近年来，以勾股定理中“赵爽弦图”“勾股树”等为模型的试题层出不穷，但富有新意的却不多.笔者尝试设计了两题供读者赏析.

试题1：古印度有一种证明勾股定理的方法：如图9，过正方形ADEC的中心O，作两条互相垂直的直线，将它分成4份.如果这两条直线作得恰当，所分成的四部分和小正方形BCMN恰好能拼成大正方形ABPQ.这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证明出了勾股定理，堪称“无字的证明”！若BC=6，AC=8，则EF为______.

试题2：如图10，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.已知正方形ABCD的边长为4，5个等圆分别内切于直角三角形和正方形EFGH各边，则图中圆的半径是__________.