推陈出新求简洁，自然生长思关联

☉江苏省海安县城南实验中学刘东升

推陈出新求简洁，自然生长思关联

☉江苏省海安县城南实验中学刘东升

在近期教学实践中，笔者将一些叙述较为繁冗的“陈题”（这里的“陈题”是指在各级考题中反复出现，且在网络上百度一些关键词后很快会出现大量这样的雷同题），本着追求简洁的命题取向，将其改编后提供给学生练习，取得较好的训练效果.本文选取三个陈题改编的题例，并附改编意图与命题思考，提供研讨.

一、陈题与改编的题例呈现

陈题1探究题：如图1.

（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从点C、B同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP、BD交于点Q，求证：AP=BD；

（2）如果把原题中的“动点D在边CA上，动点P边BC上”，改为……，其他条件不变，请你利用图2的情形，求证：∠BQP=60°；

（3）如果把原题中的“动点P在边BC上”，改为……，如图3，则动点D、P在运动过程中，求证：DE=PE.

图1

图2

图3

简评：该题陈述繁冗，表述不清，极容易造成误解，不符合数学试题追求简洁好懂、自然生长的高要求.考虑到该题在网络上非常流行，故摘引时第（2）、（3）问中部分条件以“……”取代，节约版面.以下给出改编题.

改编题1如图1，在等边△ABC中，点D、P分别在边CA、BC所在的直线上，直线BP、AQ交于点Q，且CD=BP.

（1）若点D、P分别在边CA、BC上时，求证：AP=BD；

（2）若点D、P在射线CA和射线BC上时，请利用图2求∠BQP的度数.

改编说明：将“陈题1”中第（2）问的变式统一在题干中，以条件“点D、P分别在边CA、BC所在的直线上”呈现，这样在第（1）问设置成特殊条件，强调“点D、P分别在边CA、BC上”，而在第（2）问中放开到射线上进行研究.事实上，随着探究的深入，如果作为习题讲评课，还可启发学生深入思考：如果点D、P在直线CA和直线BC上时，求∠BQP的度数.这样设问，则需要学生全面讨论，求解难度也将会上一个新的台阶.

陈题2如图4，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（-b，0），且a、b满足

（1）求证：∠OAB=∠OBA.

（2）如图4，若BE⊥AE，求∠AEO的度数.

（3）如图5，若D是AO的中点，DE∥BO，点F在AB的延长线上，∠EOF=45°，连接EF，试探究OE和EF的数量及位置关系.

图4

图5

简评：第（2）问就需要高超的构图能力，且表述也不清楚，并没有明确点E所在位置，图形也只是示意图；第（3）问陷入繁杂的图形构造，对于限时考试来说，这样的试题慎用为宜.基于以上商榷意见，笔者改编如下：

改编题2如图6，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（-b，0），P（p，0），且a、b满足连接AB，作射线AP，过点B作BH⊥AP于点H.

图6

（1）当p=-1时.

①填空：线段AP为△AOB的_____；（直接填“角平分线”、“中线”或“高”）

②延长BH交y轴于点C，求证：BC＝AP.

（2）连接OH，求∠AHO的度数.

改编说明：首先是题干中明确了点P，善于读题的学生应该清楚点P是x轴上一个动点，则图6只是一个示意图，点H会随着点P的运动而变化；这为第（2）问的分类讨论带来启示.有效考查了优秀学生严谨的思维品质；同时对学生读句画图、构图能力也有较好的考查.

陈题3如图7，在四边形ABDM中，AB＝BD，AB⊥BD，∠AMD＝60°，以AB为边作等边△ABC，∠ABD的平分线BE交CD于点E，连接ME.

（1）求∠BEC的度数；

图7

（2）连接EA，求证：EC＝ED+EB；

（3）求∠AME的度数.

简评：主要难点在第（3）问，需要较强的构图能力，这里提供两种构造思考，如图8、图9都能实现第（3）问的思路贯通.

图8

图9

然而，就本题的第（2）、（3）问来看，关联度并不紧密，且题干中的“∠AMD＝60°”在前两问也没有多大价值，所以改编时，笔者放弃了第（3）问，只是对前面两问进行生长、拓展，改编为下面这道习题.

改编题3如图10，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，以AB为边作等边△ABC，∠BAD的平分线AE交CD于点E.

（1）求∠AED的度数；

（2）求证：EC＝DE+AE；

图10

（3）在射线AE上求作一点P，使∠ABP＝75°.（不写作法，保留作图痕迹）

改编说明：围绕将“陈题3”中的∠BAD的平分线AE进行了开发，并且在洞察了图形中很多特殊角度（如∠EDB=30°，连接EB，有∠EBD=30°）之后，在第（3）问提出尺规作图，使之满足“∠ABP＝75°”，随着学生对图10中各个角度认识的深度，将会有不同的作法，这里作法的繁简与理解的深刻有直接的关系.比如，我们收集了三种典型的学生作法（图11、图12、图13）.

图11

图12

图13

可以发现，在图11中，学生先作出一个60°角，再作60°角的平分线与AE相交于点P；图12中，学生以BE为一边，构造一个等边△BEP，恰好交点在AE上；图13中，学生只是“一道弧”就轻松搞定.事实上，笔者在相关数学研究QQ群是展示该题之后，有热心的同行还用几何画板提供了不同的“一道弧”作法（图14～17）.

图14

图15

图16

图17

二、关于陈题改编的三点思考

以上选取三个陈题及改编的题例，解读、商榷并阐释了陈题改编的心路历程，以下再从整体上就陈题改编提出三点初步思考.

1.理解陈题，有的放矢推陈出新题

何明老师在文1中将一道“双曲线”综合题从300多字（外加两个坐标系图形）减少到100字（没有图形），命题打磨过程中由博返约、追求简洁的示范意义让笔者受益良多.然而要想追求试题的简约呈现，需要我们在陈题改编之前，从不同角度贯通思路，提炼和洞察陈题的“深层结构”（罗增儒语）.在此基础上还需要理解陈题系列设问的“并列”或“递进”.一般来说，作为一道解答题下的系列设问建议设计成并列式问题，但体现递进式求解的策略（详见文2）.从这个角度来看，上文中的改编题2、改编题3都“有的放矢”地舍弃了陈题2、陈题3的第（3）问，正是想追求系列设问之间的递进式求解策略.

2.精心构思，题干题肢预设关联点

以上文中提及的陈题3来说，题干中的“∠AMD＝60°”在前两问都没有得到体现，像这样的题干呈现就不符合简洁呈现的追求，可以作为第（3）问的一个强化条件，使得题干更趋于简洁好懂.这样看来，在预设一道解答题时，就需要认真构思题干、题肢的条件呈现，而不宜把所有条件都“全面铺开”，造成一些学困生阅读和理解障碍.以笔者教学实践来看，有些学困生在阅读信息量、错综复杂的条件时常常容易读漏或混淆条件，使得原本应该解答出来的第（1）、（2）问也不能顺利解出.至于有些同行提出训练学生从繁杂信息或条件呈现中“抗干扰”能力的考查要求，笔者则不敢认同，根本上说，这不符合“好的数学题目”应该“简洁好懂、自然生长”（章建跃语）的价值追求.此外，就题肢之间的关系来看，不仅要追求上面提及的并列式问题与递进式求解的思路暗示，还要思考题干信息与题肢之间的相容、包含或者逻辑连贯.比如，“改编题1”在题干中提到的是“点D、P分别在边CA、BC所在的直线上”，而两个题肢中分别是关于线段、射线的探究；再如，“改编题2”在题肢第（3）问中设计在射线AE上作出一点P，则让题干中的角平分线保持着“生命活力”，而没有让题干中这个重要条件“提前死去”.

3.易进难出，把关设问引向更远处

一般来说，解答题特别是作为全卷最后一题的把关题来说，应该努力追求易进难出，起点要低，吸引更多的学生参与.但是，作为最后一问又要使得问题具有必要的区分功能，就需要设计易错点、障碍处加大难度，通过恰当的把关设问把学生的思考引向深入、走向远处.比如，改编题1的第（3）问考查的是“点D、P在射线CA和射线BC上”，优秀学生在考后仍然可以思考“点D、P在射线AC和射线CB上”的情形；再如，改编题2的第（3）问“求∠AHO的度数”，如果学生只得到45°时，则说明思维还不够严谨，缺少考虑点P在x轴正半轴的讨论，教师在讲评时可以从点P坐标特征的角度引导学生“回到概念”，理解坐标轴是直线、x轴上点的坐标特征等角度来突破，这样重视“回到概念去解题”就能得到很好的落实.

1.何明.由博返约，追求简洁——一道“双曲线”综合题的命题过程［J］.中学数学（下），2015（11）.

2.刘东升.“并列”式问题与“递进”式求解——由一则解题教学案例说起［J］.中学数学教学参考（中），2012（8）.

3.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.H