挖掘学习材料内涵 提升学生思维品质

金海波

学习材料是教学活动的重要载体之一，不仅仅是获得数学知识、训练学生技能的工具，更是一种思维训练的载体，承载着提升学生学习策略及思维品质的重任。这需要我们在教学中对学习材料进行有意识的拓展，充分挖掘材料的内涵，用尽材料所蕴含的学习功能，不仅能使学生获得数学知识，更能从材料中感悟到蕴含的数学思想方法，全面提升学生的思维品质，促进学生有效发展。对此，笔者从数学计算中渗透数学思考，解决问题中渗透优化思想，统计材料中渗透极限思想三个方面去挖掘学习材料的内涵，以期能有效地提高学生的思维能力，促进学生的有效发展。

一、逐层递进，促进主动建构

学生学习数学的实质就是一个思考的过程，没有数学思考就没有真正意义的数学学习。在数学计算教学中我们不仅要让学生掌握基本数学知识、理解算理掌握算法，更要在此基础上对学生进行数学思考的渗透，不断提升学生的思维品质。

例如，人教版四年级上册“除数是整十数的除法口算”，在新课教学后教师出示如下口算题：

师：你认为哪一道题目与众不同？

生：我认为80÷2=40比较简单，都转化成口诀求商。

生：我发现240÷39、161÷40这两道题目是与众不同的。240÷39≈6、161÷40≈4。一个是用四舍的方法，一个是用五入的方法来求的。

师：请同学们想一想，如果把161改成什么数除以40结果还是约等于4呢？

生：162、163……

生：从140到176都是可以的。

师：那么240÷39，把39改成什么数后结果还是约等于6呢？

生：从37到43都可以。

师：通过讨论，我们发现，不仅学习了口算的计算方法，而且学习了估算的方法。当我们把240÷39看作是240÷40，用什么口诀来计算的呢？

生：四六二十四。

师：哪些除法式子也是用四六二十四的口诀来进行计算的呢？

生：24÷6、240÷60、2400÷600。

生：我认为24÷4、240÷40、2400÷400也用到了四六二十四的口诀。

生：240÷4、2400÷40也可以用。

师：请同学们观察这些算式，你发现了什么？

生答略。

上述案例中，教师在学生独立练习后通过四个不同层次的提问使学生的学习步步深入，在简单的口算练习后促进学生数学思考。第一层次的问题是找出与众不同的题目来引导学生建立新旧知识间联系，形成网络。第二层次的问题是要想使估算的结果不变，被除数和除数可以怎样改。这样在变与不变中引发学生的数学思考，真正把学生从知识与方法的学习中逐渐引导到数学思考上来。第三层次的问题是在猜测同一个结果的情况下，被除数的变化以及除数的变化使学生在学会估算的同时思考被除数与除数的取值范围，渗透了函数思想。第四层次的问题是用同一句口诀计算的还有哪些算式，进一步培养学生的发散思维。在这些算式的背后是同一句口诀，是同一个学习方法，自然而然地引起学生观察商不变时被除数与除数的变化规律，渗透了变与不变的辩证思想。

学生对新知的建构总是建立在自己对原有知识的理解上进行同化和顺应的。在这道题里，教师挖掘材料中所含有的一项项功能或一个个知识点，渗透了数学思考，培养了学生合情推理和合理分析的数学精神，提升了学生的思维品质。

二、沟通对比，体验应用价值

学习材料是学生感受数学与生活的联系、体验数学价值的重要资源，也是学生解决数学问题、提高数学能力的基本载体。教师要善于合理精选具有现实性的、有意义的、富有挑战性的学习材料，让学生在充分的学习材料中达到数学内容吸收的最大化，学生的思维也将会得到深层次的发展。在解决问题的教学中，精心选择学习材料，充分挖掘材料及背后的内涵，将材料的作用发挥到极致。

在教学人教版三年级下册“用连乘解决问题”一课后，教师出示了下面的练习题：学校有6个班，每个班有3个人参加运动会，学校给每个运动员发一个福娃当纪念品，福娃有两种卖法：一种是零售每个40元；另一种是一盒5个，每盒卖150元。可以怎么买？要花多少钱？哪种买法最合算？

学生在独立尝试解答后，集体反馈，指名回答。

师：你是怎样买的？

生：我是这样买的：6×3=18（人），18×40=720（元），每个班有3人，6个班就有18人，每个40元，一共需要720元。

生：4×150=600（元）。每个班3人，有6个班，一共有18个人。而每盒5个福娃，我们要买4盒，一共要600元。

师：你为什么想买整盒呢？

生：整盒买便宜，它每个只要30元，而零售每个40元，零售价格贵10元，买整盒划算。

师：有道理，你很会算账，还有不同想法吗？

生：我是这样的：3×6=18人，18人买3盒还余下3人。3×150=450（元）、40×3=120（元）、450+120=570（元）。

师：哪种方法比较合算呢？

生（齐答）：第三种。

师：刚才不是说整盒买起来便宜嘛！每个才30元，而第三种不是有零售每个40元吗，怎么还会是最省的呢？

生：第二种方法多2个福娃，钱浪费了，第三种方法正好买了18个，没有浪费。

师：看来想要合算需注意什么问题？

生：不能浪费。

生：前3盒每个30元，和第二种方法一样的，只有最后3个贵了30元。

生：第二种方法浪费了2个福娃，一共有60元，第二种只贵了30元。

师：那跟第一种比呢？个数也没有多买啊？

生：他每个价格都是40元，比第三种贵。

师：要想最合算，除了不能浪费，还要注意什么？

生：选取每个价格便宜的才合算。

师：今后如果我们碰到这样类似的问题，还应该怎么考虑呢？

生：我们要综合考虑，既要考虑物品的价格，也要考虑物品的个数，不能浪费。

在这道题中，教师通过三个层次的问题，让学生体会到解决问题过程中要学会全面分析，综合考虑实际问题。第一个层次是你打算怎样买，让学生穷尽所有的买法，开阔思维。第二个层次是哪一种买法最合算，引导学生考虑到并不是整盒买最合算，在解决问题中体会最省钱的买法。第三个层次是要合算必须要注意什么问题，进一步引领学生挖掘习题背后所蕴含的数学思想方法。学生通过比较第一、二种方法体会到单价便宜是盒装合算，比较第二、、三种方法体会到个数不浪费才合算。

另外，通过引导学生去比较两种方法的不同，进一步激发学生探究原因的欲望。利用比较进一步将思维引向深入。合算与否要看物体价格是否便宜，便宜则合算；也要看数量是否正好，没有浪费即合算；当两者不能只看一个时，要选择综合考虑，哪种方法优化就选择哪种。如果今后再次碰到这样的问题，我们要学会根据哪些方面来思考，引导学生从一题发散到一类题的思考方法，真正培养学生能力，促进学生发展。在此过程中，不仅培养了学生解决问题的能力与策略，更渗透了函数思想和最优化的思想。

三、聚焦本质，感悟思想方法

数学知识中有许多概念蕴含着丰富的数学思想，在统计知识的教学中渗透极限思想，让学生在构建概念意义的内涵时，从整体上建构起概念的内涵和外延，更好地促进对概念的理解，从而使知识的掌握更加全面，同时通过数学思想的渗透让学生深刻体会到数学思想在其中发挥的重要作用，增强学好数学的信心。

在教学人教版五年级上册“可能性”知识后，教师不失时机地设计了这样一个练习，让学生在掌握和理解概念的同时渗透了极限的思想。

教师在揭示了可能性的概念后，出示下左图。

师：你能根据盒中的红球说一句话吗？

生：从盒子里摸出来的一定是红球，不可能是白球。

师：那如果在盒子里加入无数多个红球，你觉得摸出来的结果会怎样呢？

生：一定还是红球，也不可能是白球。

师：如果老师在红球中加入3个黄球（见下右图），你觉得摸到哪种球可能性大呢？

生：摸到红球的可能性大。

师：如果要使摸到黄球的可能性变大，而摸到红球的可能性变小，怎么办？

生：增加黄球的个数。

师：至少增加几个黄球，才能使摸到黄球的可能性变大呢？

生：3个。

师：想象一下，如果往盒子里增加无数个黄球，那摸到黄球的可能性会怎样呢？

生：摸到黄球的可能性就越来越大。但不能说摸出的一定是黄球。

师：我们用不断增加黄球的数量，使摸到它的可能性越来越大，还有其他的方法吗？

生：红球减少3个，摸出黄球的可能性就比红球大。

师：如果红球减少2个时，摸出黄球的可能性会怎样呢？

生：它们的可能性一样大。

师：你说得很对，当它们的可能性一样大时，我们用什么分数来表示？

生：。

师：如果红球在一直不断地减少，你认为能用什么结果来表示呢？

生：摸到黄球的可能性比红球大。

生：当红球减完的时候，摸出来的一定是黄球。

师：看来当我们不断增加黄球时，哪怕是增加再多的黄球，也不能说摸出的一定是黄球，但当我们逐渐减少红球时，就可能会出现摸到黄球与红球的可能性都是，当我们将红球减少到0个时，摸出的就一定是黄球。

在上述教学中，教师通过三个层次的问题，深刻挖掘了可能性知识的内涵，让学生在掌握知识的同时，领会了事件发生的概率与极限值，渗透了极限思想。第一个层次让学生体会必然性与不可能性；第二个层次是体会可能性与可能性的大小；第三个层次是体会可能性的大小中的极限值（0或1）以及相等值。当黄球在不断增加时，摸出黄球的可能性也不会达到100%或者是1。但当红球数量减少时，摸出黄球的可能性就会变大，当红球的个数减少为0时，摸到的一定是黄球。

总之，在异彩纷呈的学习材料中，教师要认清学习材料的本质，思考和挖掘每一个材料的数学内涵，尽量将多种材料的知识点进行整合，发挥它们的最大价值，使数学课堂充满生命活力，才能使学生的思维品质得到有效的提升。

（浙江省临海市桃渚镇晓村小学 317013）