线性代数课程中融入Matlab软件教学的实践与研究

魏岳嵩，肖燕婷，芮绍平①（.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 35000；.西安理工大学理学院 应用数学系，陕西 西安 70054）

线性代数课程中融入Matlab软件教学的实践与研究

魏岳嵩1，肖燕婷2，芮绍平1
①
（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.西安理工大学理学院 应用数学系，陕西 西安 710054）

文章研究在线性代数课程中融入Matlab软件学习的教学改革.探讨引入软件教学的必要性，揭示如何处理好软件教学与传统教学的关系，阐述软件教学的内容与安排，并给出相应的教学建议.

线性代数；Matlab软件；教学改革

线性代数作为高等院校理工科学生必修的公共基础课程之一，具有概念抽象、逻辑性强、运算复杂等特点.在实际教学中，又面临学时短、内容多等问题，教师在教学中往往重计算、轻应用，而手工计算的繁杂使学生深感枯燥，难以激发学生的学习兴趣.即使有些教师想与实际问题相结合，但面对工程领域庞大的数据，繁琐的步骤，若采取笔算的方式是很难实现的.那么，如何避免繁杂计算的同时，又凸显“数学应用”的这一特定教学目标呢？科学技术的发展和现代教学手段的改革为我们开辟一条新路子.

Matlab作为常用的数学软件之一，具有强大的数值计算和数据图形可视化功能，可以满足科研和工程计算的需要.因此，在线性代数的教学中适时适量地引入Matlab软件教学内容［1-3］，可以增强课程的工程背景，强化学生的应用意识，加深学生对抽象概念的掌握和理解，调动学生的学习积极性和主动性，从而提高教学质量.

1　引入Matlab软件教学的必要性

Matlab软件教学与线性代数教学相结合，是近年来高校教师在探索教学改革时的一种新尝试，它的作用主要体现在以下几方面：

1.1抽象的概念借助几何图形来解释，可以帮助学生直观理解

线性代数课程中概念抽象，定理众多，不易理解，如何深刻理解概念的本质及定理之间的相互联系就显得尤为重要.

比如非齐次线性方程组的解的结构问题，如果以三元方程组为例，就可以从几何图形上直观理解“有唯一解，无穷多解，无解”的情形.具体情况可见图1.除此之外，三个向量线性相关可以理解为这三个向量共面，线性无关则为不共面；二阶行列式的绝对值可以理解为以它的列向量为相邻边构成的平行四边形的面积等.总之，线性代数中的众多概念，都可以从几何的角度出发，然后借助Matlab强大的图形功能，帮助学生直观理解.

1.2繁琐的计算利用简单程序的调用，体现机算的强大功能

在实际教学中，往往会听到学生这样的抱怨，线性代数课程的方法论简单，但就是计算繁琐，不是不会做，而是算不出，一个“算”字概括了线性代数的显著特点之一.比如教材上的普通四阶行列式的计算，三阶矩阵的求逆等，运算量都比较大，需要认真仔细，稍微疏忽大意，就容易出错.比如，一个一般的三阶矩阵的求逆问题，如果采取笔算，不管是采用伴随矩阵法还是初等变换法，都需要至少几分钟，但如果利用Matlab软件，只需要在命令窗口输入矩阵，然后一个简单的inv命令，就可以了，只需要几秒钟而已.用学生的话说，那就是“Matlab简直太神奇了”！那么，工程上处理的更大阶数的矩阵，比如一幅图像可以看成256*256的矩阵，笔算已经不可能，这时，只有借助计算机来进行机算.

图1　三元方程组解的不同情况

1.3增加案例教学，提高学生的学习兴趣，培养学生的应用能力

现在的学生在开始上一门新课程的时候，往往首先询问任课教师的问题就是，这门课程到底有什么用处，尤其是对他自己的专业有什么帮助，或者能解决哪些实际问题.教师可以在实际教学中，采取适时引入应用案例的方法，来吸引学生的注意力，增强学习的积极主动性，同时达到学以致用的效果［4-5］.

比如在讲完矩阵乘法之后，可提出著名的“人口迁移问题”［6］，设在一个大城市中的总人口是固定的.人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化.每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区.假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问1年后市区和郊区的居民人口比例是多少？10年、30年、50年后又如何？

这样，就把书本上介绍的矩阵乘法与实际问题有机结合起来.紧接着引导学生从结果可以看出，随着时间的推移，市区人口和郊区人口之比是趋近于一个常值的，约为0.25/0.75，那么这个比值又有什么意义呢？等到了后面特征值与特征向量的学习时，再接着研究此题目，回答该比值的含义.这样，又为后续课程的学习埋下伏笔，增强学生的学习积极性.

除此之外，在学习逆矩阵之后，教师可以提出“密码破译”问题［7］；在学习线性相（无）关，向量组的极大无关组等之后，可以提出“药品配方”问题；在学习方程组的解之后，可以提出“交通流量”问题等.像这样，在讲完课本上的理论知识之后，就紧接着介绍一个实际应用案例的方法，不仅可以吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣，还能更好地理解书本上的理论，达到学以致用的效果.这样，通过Matlab软件的学习就为数学理论学习和实际应用之间搭建一座桥梁.

1.4数学软件的早期接触，对后续课程的教学起示范作用

线性代数课程一般都开设在大学一年级下半学期，适时增加Matlab软件教学，可以使学生较早地接触一门实用性强的软件，该语言与其他计算机语言兼容，相得益彰，为今后科研工作的开展奠定了基础.对后续课程，诸如信号与系统、电路基础、通信原理、自动控制原理等课程的学习都有很好的帮助.

2　处理好传统教学与软件教学的关系

虽然我们阐述了在教学中引入Matlab软件教学的好处，但在实际教学中，应当注意处理好传统教学与软件教学的关系，把握“笔算是基本，机算是辅助”的原则.

线性代数作为一门公共基础数学课程，它不仅要求学生掌握必要的数学理论和方法，知道其应用条件和使用步骤，还非常注重培养学生的基本运算能力和逻辑推理能力.在引入机算的同时，不能忽略基本的笔算，削弱传统的教学内容，打乱原有的教学体系.在教学中，应该注意避免学生过分依赖数学软件的强大功能，而完全减弱淡化笔算能力，不能所有问题都拿到计算机上去算，完全丢掉笔和纸，本末倒置.应该注重二者的有机结合，既强调机算的益处，又不能忽略笔算能力的培养和逻辑思维能力的提高.

3　建议

理学、工学、经济学和管理学的所有专业和部分文科专业开设线性代数课程，课时主要分为54课时和48课时两种.对于理工科学生，可以尝试利用Matlab辅助教学，适当增加Matlab的理论和实践课时，进行线性代数的教学试点改革.具体可考虑做以下两方面的改变.

3.1学时安排

在传统的理论教学基础上，增加8个学时，其中，教师讲解4学时，学生上机练习4学时，具体分配如下.

（1）在第一章行列式内容讲解完之后，介绍Matlab软件入门及行列式的计算命令，时间为1学时.

（2）在第二章矩阵内容讲解完之后，介绍矩阵运算相关命令及实际应用案例，如密码破译问题等，时间为1学时.

（3）紧接着带学生进机房进行第一次上机练习，时间为2学时.

（4）在第三章向量和第四章方程组讲解完之后，介绍有关向量与方程组的操作命令及相关实际应用案例，如药品配方问题和交通流量问题等，时间为1学时.

（5）在第五章特征值和特征向量讲解完之后，介绍相关命令及实际应用案例，如人口迁移问题等，时间为1学时.

（6）紧接着带学生进机房进行第二次上机练习，时间为2学时.

这里需要注意的问题，第一次上机练习多为学生第一次接触Matlab软件，遇到的问题会比较多，可以采取进机房后，先由老师带领学生回忆复习软件内容，再由学生自己练的方式.同时，应该多配备几名实验指导教师，尽可能面对面解决学生的问题.

3.2考核方式的改变

可考虑将原有的考核方式变为传统的教学内容占80%，软件教学占20%.而在软件教学中，10%可设为较低层次的基本命令，要求学生记住常见的操作命令，诸如求行列式，求逆矩阵，求向量的极大无关组，解线性方程组，求方阵的特征值和特征向量等.10%为较高层次应用案例分析，采取大作业的形式，由题目分析、源程序代码、运行结果以及结果分析4个部分组成.可以提前设置同类型的多道题目，采取学生随机抽取的方式进行.

4　结语

利用Matlab软件进行线性代数的辅助教学，为强化理论学习和实践应用相结合提供一种新的途径.在确保原有教学理论体系完整、严谨的基础上，融入软件教学内容，不仅使学生有了抽象思维的理性训练，同时又有应用上的引导，对培养学生学习兴趣，提高整体数学素质，能起到很大的作用.因此，可以在部分专业中进行实践.

［1］陈怀琛，龚杰民.线性代数实践及Matlab入门［M］.北京：电子工业出版社，2009.

［2］谭瑞梅，朱云.工科“线性代数"课程改革模式探讨［J］.高等理科教育，2005，13（6）：32-34.

［3］高淑萍.线性代数课程MATLAB实验内容的教学与研究［J］.中国电子教育，2007，14（4）：59-62.

［4］孙燕，吕唐红.《线性代数》课程教学改革的实践与思考［J］.长春理工大学学报，2007，20（1）：42-44.

［5］杜燕飞，肖鹏.加强线性代数实践教学，提高学生创新、实践能力［J］.数学教学研究，2008，27（8）：54-55.

［6］闵兰，陈晓敏.《线性代数》研究性教学案例［J］.西南师范大学学报，2010，35（6）：206-208.

［7］卓泽朋，崇金凤，杜翠真，等.地方院校线性代数的教学实践［J］.淮北师范大学学报（自然科学版），2014，35（3）：80-84.

Research on the Practicality of Immerging Matlab Software Teaching into Linear Algebra

WEI Yuesong1，XIAO Yanting2，RUI Shaoping1
（1.School of Mathematics Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China；2.Department of Applied Mathematics，Xi′an University of Technology，710054，Xi′an，Shanxi，China）

This paper is mainly for immerging the Matlab software teaching into linear algebra teaching prac⁃tice.The necessity of introduction of software teaching and how to handle the relationship between software teaching and traditional teaching are discussed.The contents and arrangement of the software teaching are described and some teaching suggestions are provided.

linear algebra；Matlab software teaching；teaching reform

G 642.0

C

2095-0691（2016）02-0075-04

2016-01-23

安徽省质量工程教研项目（2015jyxm165）；淮北师范大学教学研究项目（jy14116，jy15106）

魏岳嵩（1975-），男，陕西定边人，副教授，博士，研究方向：时间序列图模型理论.