基于随机真度的理论的随机相容度分布
2016-09-05李修清魏海新
李修清 魏海新
(1 桂林航天工业学院 理学部，广西 桂林 541004；2 桂林航天工业学院 计算机科学与工程系，广西 桂林 541004)
基于随机真度的理论的随机相容度分布
李修清*1魏海新2
(1桂林航天工业学院理学部，广西桂林541004；2桂林航天工业学院计算机科学与工程系，广西桂林541004)
随机真度；随机直径；随机相容度
以王国俊为代表的一批数学家，对以符号化为特点的数理逻辑进行了数值运算研究，从而产生了计量逻辑学[1-4]。计量逻辑学中考虑的命题公式真度，是以概率的均匀分布为基础的，惠小静，李修清等在计量逻辑学的基础上，进一步考虑一般概率的情形，提出了随机真度的概念，将计量逻辑学的结论推广到了随机化的情形[5-11]。
1 随机逻辑度量空间
首先给出要用到的概念和性质，没有说明的符号和概念，可参见文献[12]。
设S={q1,q2,…}是命题变元(或原子命题)集，F(S)是由S生成的(,∨,→)型自由代数，称F(S)中的元素为命题公式或公式。
设N={1,2,…}为自然数的集合， 设p=(p1,p2,…)，其中p1=(p11,p21)T，p2=(p12,p22)T，…，均为任意的两点概率分布，且pij>0(i=1,2;j=1,2,…)，则我们称p=(p1,p2,…)为随机两点分布序列。其中概率分布p1,p2,…是相互独立的。我们记Ρ为随机两点分布序列的集合，即
Ρ={p=(p1,p2,…)|p为随机两点分布序列}。
设p=(p1,p2,…)是随机两点分布序列，且p1=(p11,p21)T，p2=(p12,p22)T，…，∀α=(x1,…,xm)∈{0,1}m，令φp(α)=φp1(x1)×φp2(x2)×…×φpm(xm)，定义为：当xi=0时φpi(xi)=p1i，当xi=1时φpi(xi)=p2i(i=1,…,m)，则显然得到一个m维映射φp:{0,1}m→(0,1)，我们称为空间{0,1}m的一个p-随机化映射，简称随机化映射。
定义1.1设A=A(q1,…,qm)∈F(S)是含有m个命题变元的命题公式，p=(p1,p2,…)为任取的随机两点分布序列，φp为{0,1}m上的p-随机化映射，令
则称τp(A)为命题公式A的p-随机真度，或随机真度。
由随机真度的定义易得
命题1.1设A=A(q1,…,qm)∈F(S)是含有m个命题变元的命题公式，p=(p1,p2,…)为任取的随机两点分布序列，则
下面给出随机真度的一些基本性质。
定理1.1设A,B∈F(S)，则：
(ⅰ)若A是重言式，则∀p∈Ρ均有τp(A)=1；反之，若∃p∈Ρ使τp(A)=1，则A是重言式。
(ⅱ)若A是矛盾式，则∀p∈Ρ均有τp(A)=0；反之，若∃p∈Ρ使τp(A)=0，则A是矛盾式。
(ⅱ)同理可证。证毕。
定理1.2[5]设A,B∈F(S)，∀p∈Ρ，则以下各结论成立：
(ⅰ)τp(A)=1-τp(A)。
(ⅱ)τp(A∨B)=τp(A)+τp(B)-τp(A∧B)。
由随机真度的性质，我们可以引入随机伪距离的概念，从而建立随机逻辑度量空间。
定义1.2[6]设A,B∈F(S)，∀p∈Ρ，令
δp(A,B)=τp((A→B)∧(B→A))
则称δp(A,B)为公式A与B之间的p-随机相似度或随机相似度。显然δp(A,B)=δp(B,A)。又定义ρp(A,B)=1-δp(A,B)，称ρp(A,B)为公式A与B之间的p-随机伪距离或随机伪距离，这时空间(F(S),ρp)称为p-随机逻辑度量空间或随机逻辑度量空间[6]。
要证明ρp(A,B)是随机伪距离，还要用到下面关于随机相似度的结论，具体论述参见文献[5-6]。
定理1.3[6]设A,B,C∈F(S)，∀p∈Ρ，则
(ⅰ)A≈B当且仅当δp(A,B)=1；
(ⅱ)δp(A,B)+δp(B,C)≤1+δp(A,C)。
2 理论的随机相容度的分布
定义2.1[12]设Γ∈F(S)，则Γ称为一个理论，若存在一个有限的公式序列A1,A2,…,An，对于每一个Ai(i≤n)，Ai是公理或Ai∈Γ，或存在j,k≤i，使Ai是由Aj与Ak使用MP规则推出的结果，则称An为Γ-结论，记作ΓAn。当Γ是空集时，称Γ的结论A为定理，记作A。Γ的全体结论之集，记作D(Γ)。若D(Γ)=Γ，则称Γ为逻辑闭理论。
为了研究理论的随机相容度问题，先给出理论的随机直径、随机极指标等概念。
定义2.2设Γ是F(S)的一个理论，D(Γ)是理论Γ的全体结论之集，∀p∈Ρ，
称dp(Γ)为理论Γ的p-随机直径或随机直径。
定理2.1[8]∀p∈Ρ，设Γ是F(S)的一个理论，则Γ是相容理论当且仅当ip(Γ)=0，Γ是不相容理论当且仅当ip(Γ)=1。
定义2.3[8]设Γ是F(S)的一个理论，∀p∈Ρ，
称rp(Γ)为理论Γ的p-随机相容度或随机相容度。
定理2.2设Γ是F(S)的一个理论，p是任取的两点分布序列，则
(ⅰ)Γ是不相容理论当且仅当rp(Γ)=0；
为了证明的需要，首先给出伪距离的一个结论。
定理2.3设A,B∈F(S)，∀p∈Ρ，则ρp(A,B)=τp(A∨B)-τp(A∧B)。
证明：在二值命题逻辑系统中，就a,b∈{0,1}的不同情形，容易验证下面的等式成立：
1-(a→b)∧(b→a)=(a∨b)-(a∧b)
上式两边同乘随机化映射φp(α)得：
上面等式两边对α∈{0,1}m求和得：
故由命题1.1得：
1-δp(A,B)=τp(A∨B)-τp(A∧B)，即得:ρp(A,B)=τp(A∨B)-τp(A∧B)。证毕。
我们知道，在计量逻辑学中全体命题变元之集S的直径为1[4]，但对于随机真度而言，全体命题变元之集S的p-随机直径要复杂的多，为了研究其随机直径，先给出下面定理。
∀α∈(0,1)，则由对数的意义，显然有-lnα∈(0,+)，记为β，即设β=-lnα，我们构造两点分布序列p=(p1,p2,…)如下：令。则对于我们构造的这个两点分布序列有，
由级数的计算公式易得：
定理2.5设S是全体命题变元的集合，则对于任何一个实数0<α≤1，都存在两点分布序列p=(p1,p2,…)，使dp(S)=α。
证明对于α=1，取均匀两点分布序列p0=(p10,p20,…)，则有dp0(S)=1(见文献[4])。设α∈(0,1)，则显然1-α∈(0,1)，则由定理2.4知，存在两点分布序列p=(p1,p2,…)，使
这个定理说明，全体命题变元集S的随机直径是与随机两点分布序列p的取值相关的，且得出了S的随机直径可以随着p的不同取值，等于区间(0,1]中的任何一个实数。
3 结束语
[1]Wang G J, Leung Y. Integrated semantics and logic metric spaces[J]. Fuzzy Sets and Systems,2003,136(1)：71-91.
[2]王国俊，李壁镜．Lukasiewiczn值命题逻辑中公式的真度理论和极限定理[J]．中国科学：E辑，2005，35(6)：561-569.
[3]王国俊，王伟．逻辑度量空间[J]．数学学报，2001，44(1)：159-168.
[4]王国俊．计量逻辑学(Ⅰ) [J]．工程数学学报，2006，23(2)：191-215.
[5]惠小静，王国俊．经典推理模式的随机化研究及其应用[J]．中国科学：E辑，2007，37(6)：801-812.
[6]惠小静，王国俊．经典推理模式的随机化研究及其应用(Ⅱ)[J]．模糊系统与数学，2008，22(3)：21-26.
[7]惠小静．三值R0命题逻辑系统的随机化[J]．应用数学学报，2009，32(1)：19-27.
[8]惠小静，李宏设，李丽．D-逻辑度量空间中的相容理论[J]．模糊系统与数学，2009，23(2)：12-17.
[9]李修清，魏海新，林亮．修正的n值Gödel逻辑系统的随机化[J]．计算机工程与应用，2012，48(24)：45-49.
[10]李修清，朱宁．R0型命题逻辑系统的随机化[J]．模糊系统与数学，2013，27(1)：63-70.
[11]李修清，魏海新．n值Lukasiewicz逻辑系统中理论的随机发散度[J]．模糊系统与数学，2013，27(6)：93-98.
[12]王国俊．数理逻辑引论与归结原理(第二版)[M]．北京：科学出版社，2006.
(责任编辑骆桂峰)
O141.1
A
2095-4859(2016)02-0221-05
**作者简介：李修清，男，河南清丰人。教授。研究方向：布尔代数、数理逻辑。
