三转一移解耦并联机构型综合

陈　海　秦友蕾　曹　毅,2

1.江南大学江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡，2141222.上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海，200240



三转一移解耦并联机构型综合

陈海1秦友蕾1曹毅1,2

1.江南大学江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡，2141222.上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海，200240

通过分析解耦并联机构的输入输出特点，基于支链独立驱动原则和螺旋理论提出了三转一移(3R1T)解耦并联机构构型综合方法。首先，基于解耦并联机构的雅可比矩阵为非零对角阵的要求，利用螺旋理论构造出满足期望要求的正逆雅可比矩阵，以确定支链驱动副作用于动平台上的使动螺旋，再得到该使动螺旋对应支链上的表示驱动副的驱动螺旋和除驱动螺旋之外的其他运动螺旋系，根据支链连接度的不同，可完成支链结构螺旋系的配置；最后根据解耦并联机构分支组合原则，依次选取四条支链连接动平台和定平台，得到3R1T解耦并联机构。综合的解耦并联机构的输出运动是由支链上独立的输入驱动提供的，属于解耦并联机构，此类机构结构紧凑，控制简单，具有一定的应用前景。

解耦；并联机构；型综合；螺旋理论

0　引言

机构学发展至今，已经经历了漫长的历史，从最初的串联机构到后来的并联机构，从单开链机构到多环多链机构，也得到了很多非常有价值的研究成果[1-2]。在20世纪末期，并联机构作为一类新型机构开始进入人们视野，从Stewart六自由度并联机构开始，到如今广泛在包装、分拣等工业环节中应用的Delta机器人[3]，并联机构发挥了越来越多的作用。其中关于并联机构的构型综合问题，一直是机构学研究的一个热点，国内外学者主要用螺旋理论、线性变换、位移群论、图论等方法对机构展开综合[4-5]。

相对于传统串联机构来说，并联机构是由多条支链构成的闭环机构，因此具有一些独特的优点，如承载能力高、刚度相对较高、惯性相对较小、具有较高的动态性等[6-7]。但因其结构为多链闭环，也带来了耦合性问题。针对并联机构的耦合性问题，国内外学者也做了很多这方面的工作，提出了一些解耦并联机构。国内Zeng等[8]以螺旋理论为基础，提出了并联机构的转动解耦条件，阐述了分支输入副的选择准则，确立了分支运动副的配置原则，进而提出转动解耦并联机构构型综合理论，得到一些二维转动解耦并联机构构型。张帆等[9]基于支链驱动理论提出了解耦球面转动并联机构的型综合理论。杭鲁滨等[10]基于提出的并联机构拓扑解耦准则，针对一种球面解耦并联机构进行了解耦性分析，给出了该机构更一般的解耦条件，基于拓扑解耦准则构造了一种更一般的新型球面解耦并联机构。其他如侯雨雷等[11]、张彦斌等[12]都开展过相关研究工作。国外Carricato等[13]基于互易螺旋理论提出了无奇异各向同性并联机构构型综合方法，其综合的并联机构也具有解耦特性。Gogu[14]基于线性变换方法提出了解耦并联机构的构型综合方法，综合出了部分解耦并联机构。Kong等[15-16]从并联机构的输入输出分析入手，也提出了一种解耦并联机构的综合方法。不难发现，大部分学者的研究对象是具有三自由度移动和转动特征的并联机构，但关于三转一移(3R1T)解耦并联机构的构型综合却缺乏研究。

为此，本文根据解耦并联机构的输入输出为线性映射这一特点，以螺旋理论为分析工具，基于支链独立驱动原则，提出了3R1T解耦并联机构构型综合方法。

1　理论基础

1.1螺旋理论

文献[17]研究表明：螺旋可以由两个矢量结合成(S; S0)这样的对偶形式来表示，S称为原部，表示方向矢量，S0被称为矢量S对原点的线矩，也可称为对偶部。且有：

S0=r×S+hS

(1)

其中，r为坐标原点到S上任一点的位置矢量，h表示螺旋的节距。螺旋也可以用Plüker坐标(LMN；PQR)来表示。螺旋分为线矢量和偶量两种情况：线矢量(S; S0)，S≠0，S·S0=0，h=0；偶量(0; S)，S≠0，h=∞。

螺旋在自由度分析时，能表示是约束力还是约束力偶，以及是转动自由度还是移动自由度。

1.2互易螺旋

(2)

则螺旋$1和螺旋$2互为反螺旋，其中“∘”表示两螺旋的互易积。

1.3使动螺旋

使动螺旋是指在支链中，除驱动螺旋之外，与其他运动螺旋互易积都等于零的螺旋，从物理意义上理解，即支链驱动副作用于动平台上的力或力偶，用$a表示。当$a=(lmn;pqr)时，表示作用力；当$a=(000 ;lmn)时，表示一个作用力偶。

2　3R1T解耦并联机构输入输出分析

(3)

式中，Fi为第i条支链的基本运动副的个数。

(4)

式(4)也可以写作如下矩阵形式：

(5)

分支约束螺旋系限制了动平台沿平行于X、Y轴方向的移动自由度，即v中平行于X、Y轴方向的任何分量都恒为0。对应的使动螺旋为$ai(i=1, 2, 3, 4)，在式(5)中将使动螺旋的形式改变但并不改变式(5)的意义，可得

(6)

(7)

如果Jv是可逆阵，则有

取

(8)

J为机构的雅可比矩阵。

当机构的雅可比矩阵有一列只有一个非零元素时，则机构满足解耦并联机构条件。式(8)表明，机构的雅可比矩阵可由正逆雅可比矩阵得到，由式(7)知，若正雅可比矩阵为非零对角阵，则机构的雅可比矩阵满足解耦条件。

3　3R1T解耦并联机构型综合原理

由第2节的结论可知，如果能保证机构的正逆雅可比矩阵均为对角阵，则此机构一定是解耦并联机构。基于此结论，提出了一种利用螺旋理论来构造正逆雅可比矩阵均为对角阵的方法。机构的正逆雅可比矩阵由机构支链的驱动螺旋和使动螺旋决定，因此通过给定每条支链作用在动平台上的使动螺旋，得到支链上对应的驱动螺旋，再根据互易螺旋理论得到支链上其他运动螺旋，由不同的支链连接度，可以得到不同的支链结构。文献[18]指出对于移动解耦并联机构，其驱动副既可为移动副，也可为转动副，当驱动副为转动副时，该分支需同时具有一个与驱动副构成2R平行子链的转动副(下文中简称2R平行子链转动副)，相当于一个转动副和一个移动副的线性组合，其作用效果和用移动副作为驱动副是相同的。

结合以上分析，可依据独立驱动原则，利用螺旋理论完成3R1T解耦并联机构的构型，具体过程如下：

(1)根据支链独立驱动原则和机构正逆雅可比矩阵为对角阵的要求，确定支链驱动控制的动平台输出自由度，然后给出该支链驱动副作用于动平台的使动螺旋形式。

(2)根据使动螺旋确定支链中的驱动螺旋，其中当使动螺旋为力线矢类螺旋时，驱动副可以是移动副或者是2R平行子链转动副，对应的驱动螺旋为偶量螺旋或力线矢螺旋；当使动螺旋为偶量类螺旋时，驱动副只能为转动副，对应的驱动螺旋为力线矢螺旋。

(3)根据支链上除驱动螺旋之外的其他运动螺旋和使动螺旋的互易积为0的特点，根据反螺旋准则可以推导出该支链上可以存在的除驱动螺旋之外的其他运动螺旋系，再根据连接度的不同即可推导出支链所有的结构类型。

(4)根据并联机构约束螺旋理论和解耦并联机构分支转动条件，依次选择四条支链连接动平台和定平台，即可获得期望的3R1T解耦并联机构。

其构型流程如图1所示。本文构造的3R1T并联机构的正逆雅可比矩阵均为对角阵，属于解耦并联机构；同时机构的输出自由度是由独立的输入驱动提供，即每条支链只含有一个驱动副，控制动平台的一个输出自由度。

图1　解耦并联机构构型流程图

4　机构支链型综合过程

在下面的构型综合过程中，假设第一条支链提供动平台沿Z轴方向的移动驱动，第二、三、四条支链提供动平台绕X、Y、Z轴方向的转动驱动。由于并联机构分支必具有动平台的运动特征，所以综合的每条支链的连接度至少为4。下面根据上节中的构型原理分别给出四条支链的构型过程。

4.1第一条支链的型综合过程

假设第一条支链只提供对Z轴的移动驱动，正雅可比矩阵中第一排只有一个非零元素[Jr]11。第一条支链只提供沿Z轴方向的移动驱动，则可知驱动副作用于动平台上的使动螺旋为线矢量螺旋，由于期望使动螺旋只对动平台沿Z轴方向有驱动力，所以使动螺旋的形式只能为

即使动螺旋与坐标系Z轴方向平行。由第3节分析可知，支链一上的驱动螺旋有三种类型(依次为类型a、类型b、类型c)：

(9)

将式(9)代入式(7)可得

(10)

由于f12和f13是与坐标系原点选择有关的变量，所以只要调整驱动副的位置使f12和f13不为零，则式(10)中三种情况下[Jv]11均不为零。下面根据以上分析配置支链中除驱动螺旋之外的其他运动螺旋所组成的螺旋系，根据式(2)和反螺旋定理可知支链中可能存在的螺旋系有以下几种：

(1)与Z轴平行的线矢量螺旋系，此类螺旋系的维数最多为3，至少为1。

(2)与Z轴垂直的偶量螺旋系，这类螺旋系的维数最多为2，且在支链中的方向互不平行。

(3)与使动螺旋轴线相交的线矢量螺旋系，其维数至少为2，其轴线方向分别平行于X轴方向和Y轴方向，且其轴线交于一点。

4.1.1驱动副为沿Z轴方向的移动副

当驱动副为轴线平行于Z轴方向的移动副时，有

并联机构支链必含动平台的运动特征，因此该支链结构类型至少为3R1T。具体的支链一结构如表1中第一类驱动所示，表中带有下划线的运动副表示驱动副。下标X、Y、Z表示运动副的轴线方向，T表示移动副，R表示转动副，为简化结构和直观分析，假设相邻运动副轴线均垂直或平行。在实际工程应用中则不然，可根据具体情况予以设计考虑。

4.1.2驱动副为沿X轴方向的转动副

当驱动副为轴线平行于X轴方向的转动副时，有

当输入副为转动副时，相当于用一个2R平行子链替代沿Z轴的移动驱动，由第三节分析可知，2R平行子链驱动会带来另一方向的消极驱动，所以支链中需存在一个与消极驱动方向平行的移动自由度，所以可知此类分支的运动连接度至少为5个。其具体支链配置类型如表1中第二类驱动所示。

表1　第一条支链结构

4.1.3驱动副为沿Y轴方向的转动副

当驱动副为轴线平行于Y轴方向的转动副时，有：

分析原理同4.1.2节。其具体支链配置类型如表1中第三类驱动所示。其中4R1T类型为根据3R2T类型经过线性组合变换所得，线性变换需注意一个转动副和一个移动副线性组合成一个2R平行子链需满足一定条件，即原支链中存在垂直于该转动副轴线方向的两个移动自由度。具体的线性变换方法可参考文献[17]，下文中其他类型变换同理。

需要说明的是，由于本文综合的并联机构的运动特征为三转一移，所以支链的连接度至少为4，又由于机构采用独立支链驱动，所以会有4条支链，为简化机构结构，本文中构造的支链均不考虑支链中存在冗余运动副的情况；且限于篇幅，一类支链只给出一种排列情形，对于改变支链中运动副的排列顺序的情况也不予列出，下文中其余支链均按此处理。

4.2第二条支链的型综合过程

第二条支链只提供对X轴方向的转动驱动，支链驱动作用于动平台上的使动螺旋为偶量螺旋。由于本文综合的机构具有三维转动特征，基于支链独立驱动原则，所以支链上使动螺旋的形式只能为

(11)

设第二条支链上表示驱动副的驱动螺旋为$q2=[a2b2c2;d2e2f2]。由于综合的每条分支都具有三移一转运动特征，所以当驱动螺旋沿Y、Z方向具有转动分量时，可能会导致动平台具有沿Y、Z方向的转动自由度，破坏了机构的转动解耦特性，驱动螺旋只能为

(12)

将式(11)和式(12)代入式(7)可得

(13)

由式(13)可知，[Jv]22满足非零条件，所以有

确定了支链作用于动平台上的使动螺旋和驱动螺旋之后，可以根据反螺旋定理得到支链中可以存在的除驱动螺旋之外的其他运动螺旋系。根据式(2)和反螺旋定理可知满足条件的螺旋系有：

(1)方向任意的偶量螺旋系，任意两个偶量的轴线不平行，此类螺旋在支链中最多有3个，至少为1个，且其轴线沿Z轴方向。

(2)由与使动螺旋的轴线垂直的线矢量螺旋系可知，此类线性无关的线矢量有两个，且其轴线分别沿Y、Z轴方向，并相交于一点。

根据连接度的不同可得到第二条支链结构如表2所示。

4.3第三条支链的型综合过程

假设第三条支链只提供对Y轴方向的转动驱动。第三条支链的型综合过程类似于第二条支链的型综合过程，同理可得第三条支链上的使动螺旋和主动螺旋分别为

根据以上方法给出其支链具体结构类型见表3。

表2　第二条支链结构

4.4第四条支链的型综合过程

若第四条支链只提供对Z轴方向的转动驱动，则驱动副作用于动平台上的使动螺旋为偶量，第四条支链的综合过程类似于第二、三条支链，以下只作简述。同理可知，第四条支链上的使动螺旋和驱动螺旋分别为

据此可得到除驱动螺旋之外的其他运动螺旋所组成的螺旋系，并据此配置支链结构可能类型，在此直接在表4中给出具体的支链结构类型。

5　解耦3R1T并联机构型综合

对于并联机构的综合方法，有基于运动特征的综合，也有利用约束螺旋理论的方法，本文通过构造四条支链再组合四条分支所得到的并联机构均为非对称结构，所以不适合用约束螺旋理论综合，本文采用基于运动特征的综合方法。

表3　第三条支链结构

由于本文综合的并联机构具有三维转动特征，根据并联机构转动条件，即任意两分支需能提供垂直于转动方向的平面移动自由度，在选择组合四条支链时，需注意以下准则：

(1)当有一条(且只能为一条)支链的连接度为4，另三条支链的连接度必须为6。

(2)当有一条支链的连接度为5，此时需有一条对应的连接度为5的支链，且两条支链刚好具有三维移动特征。如一条移动特征为沿X、Z轴方向，则另一条需具有Y、Z方向的移动特征，其余两条支链的连接度需为6。

表4　第四条支链结构

图2　3R1T解耦并联机构

如图2所示，选取四条支链的第一个运动副为输入副，且直接与固定基座相连。定义符号：l1为支链一上沿Z轴方向表示驱动输入的移动距离；θ1为支链二上沿X轴方向驱动副的输入；θ2为支链三沿Y轴线方向转动输入的角度；θ3为支链四沿Z轴方向转动输入的角度。

坐标系如图2中所示，根据以上分析可知，初始时刻，机构输入分别为l1、θ1、θ2、θ3，设动平台的对应输出量分别为z、α、β、γ，则根据上述解耦并联机构组成特点，可得

(14)

式(14)两边对时间t求导，可得

(15)

式(15)也可以被写作：

(16)

所以，可得机构雅可比矩阵：

(17)

由式(17)可以看出，该机构的雅可比矩阵J为单位对角矩阵，表明该并联机构是解耦并联机构，同时验证了上述构型综合方法的正确性。

6　结论

(1)本文基于螺旋理论，提出了解耦并联机构型综合的一种系统方法，通过分析解耦并联机构雅可比矩阵所要满足的条件，给出了构型原理的具体步骤。

(2)运用该型综合方法，完成了3R1T并联机构的构型综合问题，首先综合3R1T四自由度解耦并联机构各条支链，再组合各条支链连接动平台和定平台得到3R1T解耦并联机构。

(3)基于螺旋理论分析了综合得到的一种机构的运动特征，求得机构的雅可比矩阵，验证了并联机构的解耦。证明了构型理论正确性。

(4)综合的并联机构具有解耦特点，有一定的应用前景。

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(编辑王旻玥)

Type Synthesis of Three-rotational and One-translational Decoupling Parallel Mechanisms

Chen Hai1Qin Youlei1Cao Yi1,2

1.Jiangnan University,Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology,Wuxi,Jiangsu,214122 2.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University,Shanghai,200240

Based on the screw theory and driven-chain principle, a method of structural synthesis of decoupling three-rotational and one-translational (3R1T) parallel mechanisms was proposed according to the analysis of input and output characteristics of decoupling parallel mechanism. Firstly, because of the demands that the Jacobian matrices of decoupling parallel mechanisms had to be non-zero diagonal matrices, the direct and the inverse Jacobian matrices were constructed by screw theory. Then, the effective screws, the actuated screws and the mobile un-actuated screws of each limb were established based on reciprocal screw theory and all possible topology structures fulfilling the requirements were performed in the light of different connectivities of the limbs. Finally, the decoupling 3R1T parallel mechanism was obtained by the connection of 4 limbs with the moving platform and fixed platform in terms of the parallel mechanism kinematic principles.The outputs of the synthesized parallel mechanism were provided by the independent input-driven of each chain. This decoupling parallel mechanism is compact, which can be controlled with ease and has a certain prospect.

decoupling； parallel mechanism； type synthesis；screw theory

2015-05-27

国家自然科学基金资助项目(50905075)；江苏省普通高校学术学位研究生科研创新计划资助项目(KYLX-1115)；机器人技术与系统国家重点实验室开放基金资助项目(SKLRS-2012-MS-07)；机械系统与振动国家重点实验室开放课题资助项目(MSV201407)；江苏省食品先进制造装备技术重点实验室开放课题资助项目(FM-201402)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.09.017

陈海，男，1991年生。江南大学机械工程学院硕士研究生。研究方向为机器人机构学。秦友蕾，男，1991年生。江南大学机械工程学院硕士研究生。曹毅(通信作者)，男，1974年生。江南大学机械工程学院副教授、博士，上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室访问学者。