介质折射率对矩形波导有效折射率的影响

潘继环， 张元文

(河池学院　物理与机电工程学院， 广西　宜州　546300)



介质折射率对矩形波导有效折射率的影响

潘继环， 张元文

(河池学院物理与机电工程学院， 广西宜州546300)

基于电磁波动理论，通过马卡梯里法近似求解矩形波导模式特征方程，研究介质折射率对矩形波导有效折射率的影响。结果表明：无论模阶数取何值，矩形波导有效折射率随芯层折射率的增大而增大，随包层折射率的增大而减小；当芯层与包层折射率比保持不变时，随介质折射率的增大而增大；当孔径数值变大到某一数值，有效折射率均出现简并现象。这些影响规律对矩形波导的实际应用具有一定的理论指导意义。

矩形波导；马卡梯里法；介质折射率；有效折射率

矩形波导是集成光学应用的重要器件，是由截面形状为矩形的金属材料(铜、铝等)构成、内部填充空气介质的金属波导[1-5]。目前对波导的应用，虽然在低频段和高频段面临一些困难，但因其具有损耗低、电磁屏蔽性能好等优点，在军事、民用等大功率情况下的作用是无可取代的，如在通信传输线平面集成化、小型化等方面具有广泛的应用[3-13]，自从汤姆逊在1936年成功预言波导以来，波导就一直成为各国科学家们最热门的研究课题之一。

对于平板波导和矩形波导的研究，相关文献报道比较多，但对矩形波导有关介质折射率的研究还是比较少见。在矩形波导的各个参数中，传播常数是最重要的参数之一，它对光波导及其所构成的光器件的设计都起着指导性的作用[3-14]。而传播常数的计算方法之一便是由矩形波导的有效折射率来计算，因而研究影响矩形波导有效折射率的因素就显得尤为重要。因此，本文通过研究介质折射率对矩形波导有效折射率的影响，并分析和总结出它的规律，力求得到比较精确的有效折射率，从而为获取较为精准传播常数的计算提供参考。

1　模型及计算方法

1.1矩形波导结构

图1　矩形波导横截面图

假设矩形波导结构的截面如图1所示，将各波导层划分为9个区域(3*3)，中间为矩形波导芯层简称芯层，令芯层的折射率为n1，长度和宽度分别为a、b，紧邻芯层周围分别为波导包层(即四个白色区域)和四个角区(即四个阴影区域)，其中令包层的折射率n2=n3=n4=n5。由于光在阴影区传播的功率相对较弱，在具体分析问题时可作近似忽略，并以芯层的中心为坐标原点建立直角坐标系，Z轴垂直于纸面向里。

研究方法采用马卡梯里法[4-6,11]，该方法主要是把矩形波导中间竖着的三个区域看作水平的平板光波导，中间横着的三个区域看作竖直的平板光波导，因此用平板光波导的理论就可以很方便的求出矩形光波导所需的参数。

1.2理论公式推导

(1)

2　介质层折射率对有效折射率的影响

2.1芯层折射率n1对有效折射率Nx的影响

图2　芯层折射率变化与有效折射率Nx的关系

为研究芯层折射率对有效折射率的影响，分别取参数λ0=1.55 μm，包层折射率n2=n3=n4=n5= 1.20，模阶数取m=0～2，当芯层的折射率n1分别取值为1.20、1.30、1.40、1.50时，对方程(3)利用Matlab编程模拟绘制出芯层折射率n1与有效折射率Nx的关系，如图2所示。

图3　包层折射率变化与有效折射率Nx的关系

从图2中可以看出：(1)无论模阶数取何值，当芯层折射率n1从1.20～1.50发生变化时，有效折射率都是随着芯层折射率的增大而增大，同时x轴孔径越大矩形波导的有效折射率越容易趋于简并。(2)在图2(a)中，对于基模(即m=0)，无论芯层折射率如何变化，有效折射率都小于1.20，并且在芯层宽度0～5 μm范围，有效折射率均衰减至0.14，开始出现简并现象，而光能在芯层中传播的条件是有效折射率介于n1和n2之间，即1.20

另外，矩形波导在x轴上支持模阶数m≥1的多模传输，但要求数值孔径不能太大，如果太大了矩形波导就容易变成了表面模。经过计算得知，孔径大小维持在0～8 μm范围比较合适。

2.2包层折射率n2对有效折射率Nx的影响

同样取参数λ0=1.55 μm，芯层折射率n1=1.50，模阶数分别为m=0、1、2，当包层的折射率n2=n3=n4=n5分别取值1.20、1.30、1.40、1.50时，对方程(4)利用Matlab编程模拟，绘制出包层折射率n2与有效折射率Nx的关系，如图3所示。

图4　介质折射率比值对有效折射率Nx的影响

从图3中可知：(1)无论模阶数取何值，当包层折射率n2分别取值为1.20、1.30、1.40、1.50时，有效折射率均随着包层折射率的增大而减小，同时孔径数值越大，有效折射率就越容易趋于简并。(2)在图3(a)中，对于基模(即m=0)，不管包层折射率如何变化，有效折射率均小于1.10，在芯层宽度0～5 μm范围内，衰减至0.12，开始出现简并现象。(3)在图3(b)、(c)中，有效折射率均大于1.20，无论芯层折射率如何变化，当m=1时有效折射率衰减至0.35，开始出现简并现象；当m=2时有效折射率衰减至0.42，开始出现简并现象，以此类推，模阶数越大，就越容易出现简并现象。

因此，要提高波导的有效折射率，就要增大芯层介质的折射率，相反地，如要减小波导的有效折射率可增大包层介质的折射率。

2.3介质折射率比n1/ n2对有效折射率Nx的影响

同样地，取λ0=1.55 μm、包层折射率n2=n3=n4=n5不变，当模阶数取m=0、1、2时，介质折射率比(即芯层与包层折射率比)固定为n1/n2=1.20，即n1分别取1.68、1.56、1.44、1.32，则对应的n2分别为1.40、1.30、1.20、1.10，对方程(3)、(4)利用计算机模拟绘制出介质折射率比n1/n2与有效折射率Nx的关系，如图4所示。

从图4中可以看出，当比值n1/n2为1.20不变时，有效折射率Nx同时随着芯层和包层介质折射率增大而增大。在芯层宽度0～5 μm范围内，当m=0时，有效折射率均小于1.0，且衰减至0.15，开始出现简并现象，如图4(a)所示；当m=1时，有效折射率衰减至0.28，开始出现简并现象，如图4(b)所示；当m=2时有效折射率衰减至0.42，开始出现简并现象，如图4(c)所示。

综上所述，介质折射率的变化对矩形波导的有效折射率有调制作用。另外，笔者阅读一些相关文献报道，了解到用矩形波导有效折射率法来计算传播常数，得到的结果偏差稍大。因此，利用介质折射率变化对矩形波导有效折射率的调制作用，可以减小因用有效折射率法来进行计算传播常数而出现误差偏大的问题。

3　结论

采用马卡梯里法研究了介质折射率对矩形波导有效折射率的影响，得出以下结论：

(1)无论模阶数取何值，矩形波导有效折射率随着芯层折射率的增大而增大，随着包层折射率的增大而减小；当芯层与包层折射率比保持不变时，随着介质折射率的增大而增大。

(2)随着芯层孔径数值的增大，有效折射率均出现简并现象。

介质折射率对矩形波导有效折射率的影响规律，可为以矩形光波导器件为理论基础的集成光学器件、光电子器件提供一定的理论指导，也为减小因用有效折射率法来进行计算传播常数而出现的误差提供了参考。

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[责任编辑刘景平]

Influence of Medium Refractive Index on the Effective Refractive Index in Rectangular Waveguide

PAN Ji-huan, ZHANG Yuan-wen

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Hechi University,Yizhou, Guangxi 546300, China)

The study uses Marca ladder in approximation theory and electromagnetic waves theory to solve characteristic equation of the rectangular waveguide mode, and research the influence of the refractive index on the effective refractive index in rectangular waveguide. The result shows that whatever the value of mode order is, the effective refractive index in rectangular waveguide increases with the increase of the core refractive index and decreases with the increase of the cladding refractive index; when the ratios of the core refractive index and the cladding refractive index remain constant, the number of the effective refractive index is increased with the increase of the refractive index of the medium; the curve of the effective refractive index begins to degenerate when the numerical aperture becomes large to a certain value. These laws can provide theoretical guide to study the practical application of a rectangular waveguide.

rectangular waveguide; Marca ladder theory; effective refractive index; refractive index

O431

A

1672-9021(2016)02-0039-04

潘继环(1972-)，男，广西都安人，河池学院物理与机电工程学院副教授，主要研究方向：光子晶体。

广西高校科学技术研究基金资助项目(KY2015YB258)；河池学院重点科研基金资助课题(2014ZD—N001)；2015年自治区级大学生创新创业训练计划立项项目(201510605057)。

2016-03-07