正规拓扑空间中动力系统的一些性质

罗志敏，刘永建

(1.罗定职业技术学院教育系,广东罗定　527200；2.玉林师范学院数学与信息科学学院,广西玉林　537000)



正规拓扑空间中动力系统的一些性质

罗志敏1，刘永建2

(1.罗定职业技术学院教育系,广东罗定527200；2.玉林师范学院数学与信息科学学院,广西玉林537000)

基于拓扑空间滤子及滤子基的性质，在正规拓扑空间上相对紧集合中，给出了点与集合的轨线集合、极限集合、延伸集合与延伸极限集合的一些基本性质与关系,并讨论了集合的延伸集与其稳定性的关系.

动力系统;正规拓扑空间;滤子基;稳定性;闭包不变集合

动力系统理论的主要内容之一是研究点集的性质与关系，国内外许多学者对此进行了深入研究，得到了许多优秀的结果[1-11].他们所考虑的动力系统一般定义在紧致的度量空间或局部紧致的度量空间中.本文在已有工作的基础上，继续讨论动力系统中一些重要集合，如轨线集、极限集、延伸极限集、轨线闭包和延伸集等的性质及其关系，研究点的延伸集合和集合延伸集合的关系，并在不变集合基础上给出了闭包不变集合的定义，进一步分析集合的延伸集合与其稳定性的关系.

本文的结论是动力系统理论中的一些基本事实，但所考虑的空间为更抽象的正规拓扑空间.众所周知，如果拓扑空间可度量化则必然是正规的，但是正规条件并不能保证空间可度量化，所以本文不再使用空间中点与集合的“度量”性质，这使得我们的研究方法与上述文献使用的方法存在显著差别，我们的结果也更具广泛性.另外，本文运用的主要工具是拓扑空间中的滤子及滤子基性质，这一点也有别于上述文献，也是本文特色之处.

1　预备知识及引理

(1)π(x,0)=x,∀x∈X;

(2)π(π(x,s),t)=π(x,s+t),∀x∈X,s,t∈R.

对∀M⊂X，记

定义4M为A的非空子集，若M=C(M),则称M是不变集合；若M=K(M),则称M是闭包不变集合.

注2定义3与定义5可参见文献[5].

2　主要结果

性质1设X是正规拓扑空间，对∀x∈X，若D(x)=K(x)，则

(1)若L+(x)非空，则J+(x)=L+(x);

(2)若J+(x)非空，则J+(x)=J-(x)=K(x).

证明(1) 对∀x∈X,L+(x)非空，则存在y∈L+(x),使得y∈J+(x),x∈J-(y)⊂D(y)=K(y)⊂L+(x)，因此J+(x)⊂D(x)=K(x)⊂L+(x)，于是J+(x)=L+(x).

(2)对∀x∈X,J+(x)非空，所以存在y∈J+(x)，使得x∈J-(y)⊂D(y)=K(y)⊂J+(x)，于是有K(x)⊂J+(x)；同时J+(x)⊂D(x)=K(x)，故有J+(x)=K(x).另一方面，由x∈J+(x)有x∈J-(x)，因此，K(x)⊂J-(x)⊂D(x)=K(x)，故有J-(x)=K(x)，所以J+(x)=J-(x)=K(x).】

证明(1) 由D+(M)的定义以及滤子基的性质直接可得.

证明一方面，对∀x∈M，有D+(M)⊃D+(x)成立，故D+(M)⊃∪x∈MD+(x).

另一方面，任取Q∈D+(M),设集族{Vi}和{Ui}(i∈I,I为指标集)分别为集合M和点Q的邻域系，现构造序对(Vi,Ui),对此序对定义

综上，有D+(M)⊂UP∈MD+(P)成立.】

例1考虑R2中由微分方程定义的动力系统：

此方程的奇点为

由此可得

这里Ψ(M)={V:V是M的领域}.由于F2⊂D+(M),且有

于是D+(M)∩(U1∪U2)′≠∅,从而有D+(M)∩(F1∪F2)′≠∅,而这与D+(M)=F1∪F2矛盾，故定理2成立.】

证明由定理2直接可得.

证明取点Q的任意邻域U和点P的任意邻域V，因为Q∈D+(P)，所以C+(V)∩U≠∅,故存在一点P′∈V和一非负实数t0，使得P′(t0)∈U；如果令Q′=P′(t0)∈U，则P′=Q′(-t0)∈V,因而C-(U)∩V≠∅,即有P∈D-(Q).】

下面给出正规拓扑空间中集合的延伸集与其稳定性的关系.

充分性.反设M为正向不稳定的，则由定义5可知，存在M的开邻域U，使得对于M的任意邻域V，有U′∩C+(V)≠∅.定义

Ψ′={U′∩C+(V):V∈Ψ(M)},

这里Ψ(M)是M的邻域滤子，且易验证Ψ′是U′中的滤子基.但由假设知U′为闭集且是紧的，因此存在一点

且P∈D+(M),故有U′∩D+(M)≠∅,从而也有M′∩D+(M)≠∅,这与D+(M)=M 矛盾，因此M为正向稳定的.】

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[12]儿玉之宏.拓扑空间论[M].方嘉琳，译.北京:科学出版社,2001.

(责任编辑马宇鸿)

Some properties of the dynamical systemsonregulartopologicalspace

LUO Zhi-min1,LIU Yong-jian2

(1.Department of Education,Luoding Polytechnic,Luoding 527200,Guangdong,China;2.SchoolofMathematicsandInformationScience,YulinNormalUniversity,Yulin537000,Guangxi,China)

Usingthefilterandfilterbase,therelationandpropertiesfortheorbitset,thelimitset,theprolongationsetandtheprolongationlimitsetofdynamicalsystemsareinvestigatedintherelativelycompactsetontheregulartopologicalspace,andtherelationofprolongationsetandstabilityofthesetisobtainedbythedefinitionofclosureinvariantset.

dynamicalsystem;regulartopologicalspace;filterbase;stability;closureinvariantset

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.002

2015-06-06;修改稿收到日期:2015-09-17

国家自然科学基金资助项目(11161051)

罗志敏(1979—)，男，湖南桃源人，副教授，硕士.主要研究方向为微分方程与动力系统.

E-mail:zmluo@126.com

O188.11

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0005-04