构造“好”函数，巧证不等式——对2016年全国1卷(乙卷)理科数学第21题反思

南昌三中

张金生



构造“好”函数，巧证不等式
——对2016年全国1卷(乙卷)理科数学第21题反思

南昌三中

张金生

函数、导数与不等式是中学数学中最重要的内容，近年来函数导数不等式题型常作为高考压轴题，对考生来说如何根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的是一个难点.本文以今年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题和几道模拟试题为例,说明如何构造一个好函数,求导研究函数的性质，利用函数的单调性和极值等性质去解决问题，希望能抛砖引玉.

一、极值点偏移的问题，根据对称化构造“好”函数

例1(2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2

分析：该题第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法，建立一个新函数，求导研究函数图象和性质，考查了函数与方程、分类讨论与数形结合思想；第 (2) 小题是典型的极值点偏移的问题，根据对称化构造一个函数即可.

(2)由(1)，不妨设x1<1

该题并不陌生，目前全国各地的模拟题中频繁出现极值点偏移的试题，比如下面例题2：

例2(南昌市2015-2016重点中学高三月考21题)

所以2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题对学习能力强知识面广的考生较有利．

构造函数在解决不等式等问题中之所以显示出这么大的作用,根源在于函数思想的巨大威力,正如大数学家笛卡儿所说:一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题又可以转化为函数问题.而构造函数正是将问题转化为函数问题的首要一步,如何学会构造恰当的函数,应用函数的性质去解决问题请继续看以下例题.

二、引入新变量，构造“好”函数

∴以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系o-xyz.

解：(Ⅰ)切线方程y=2x-1．

二、巧设主元，构造“好”函数

例4已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；

通过以上典例的分析，可以看出构造一个“好”函数不但是一种解题的好方法，也是掌握函数与方程思想的一条好途径.将证明或求解的不等式转化为函数的问题，然后利用求导去研究函数性质证明不等式，关键在于转化为什么样的函数.这就要求从被证(解)的不等式的形状，特点入手，发生联想.本着“纵向深入，横向联系”的原则，合理的构造函数模型.达到启发学生思维，开拓解题途径的效果.