例析由递推数列求通项的几种巧妙方法

广东省惠州市第一中学　(516007 )

方志平



例析由递推数列求通项的几种巧妙方法

广东省惠州市第一中学(516007 )

方志平

由递推数列求通项公式是解决数列难题的瓶颈，也是自主招生考试及高中各类数学竞赛的热点之一，该内容具有良好的选拔功能.由于递推数列形式多变、复杂，解法灵活，技巧性高，从而导致这一内容成为学生学习的一个难点.本文总结出由递推数列求通项公式的几种巧妙方法，希望能够帮助广大高中生突破这一难点.

1.巧用待定系数法

例1a1=1,an=5an-1+(3n-7)·2n-1+4n-9(n≥2)，求数列{an}的通项.

解：由a1=1,an=5an-1+(3n-7)·2n-1+4n-9(n≥2)，令an+(An+B)2n+Cn+D=5{an-1+[A(n-1)+B]2n-1+C(n-1)+D},an=5an-1+(3An+3B-5A)×2n-1+4Cn+4D-5C，由待定系数法得:

例2已知an+1=5an-6an-1+2n+1(n≥2),且a1=1,a2=-2.求数列{an}的通项.

点评：用待定系数法求解递推数列的通项公式，关键是观察递推关系式的特征，将递推关系式合理变形、组合转化为特殊数列，如上述两例都转化为等比数列.

2.利用公式变形法

点评：这种方法类似于换元法,其实质是将递推关系式整体变形，构造一个新数列.

3.妙用引入参数法

点评：这里引入参数法解题，源于“利用特征方程法求解递推数列通项”的思想.其解法新颖、独特，可激发学生学习数学的兴趣，培养他们的创新能力！

4.使用代入消元法

例8若数列{an}及{bn}满足

点评：消元法就是利用方程的思想，将二元线性递推式中消去一个元，将二元线性递推数列化为一阶或二阶线性递推数列.本题也可仿例5“引入参数法”求解，读者可尝试.

综上几种方法是把一些较难处理的由递推数列求通项问题，巧妙转化为我们所熟悉的特殊数列问题，从而使问题迎刃而解.另外，使用上述这些巧妙方法能降低思维强度，简化推理和运算过程，避免了复杂的运算，提高了解题效率.