探究一类椭圆中三角形面积问题

浙江省玉环中学　(317600)

庄　丰



探究一类椭圆中三角形面积问题

浙江省玉环中学(317600)

庄丰

此题是椭圆中三角形面积的典型例题，其中三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在椭圆上.题目表述简洁明了，初看非常平淡，实则内涵丰富.通过活用直线、椭圆的各种方程，多角度探究解法、背景、推广，能得到一些有用的结论，值得细思赏玩.

1.解法探究

评注:利用直线x=my+n解题，降低了解题的运算量，并且避免了对直线分类讨论，得到的面积表达式比较简洁，容易求解.

解法2(利用直线的参数方程)

评注:利用直线参数方程解题时，关键要灵活运用参数t的几何意义，将三角形面积转化为与t相关的式子.

解法3(利用椭圆的参数方程)

评注:利用椭圆的参数方程解题，涉及向量的面积公式、三角恒等变换等知识，需要一定的运算技巧才能顺利完成.此题还可利用椭圆的极坐标方程求解.

2.背景揭示

追根溯源，椭圆是由圆经过压缩变换而来的，我们可以将其还原为圆的问题.

3.推广

运用类似方法，我们将问题推广,得到结论1和结论2，并给出结论2的证明.

②若点P(x0,y0)在椭圆内，设b2x0+a2y0=t，则△OAB的面积的最大值