球面距离定义的合理性诠释

甘肃省永登县第二中学　(730302)

张长雁



球面距离定义的合理性诠释

甘肃省永登县第二中学(730302)

张长雁

我们知道，平面上两点之间的距离是连接两点的线段的长度，其依据是公理：两点之间线段最短.球面距离：在球面上,两点(非大圆直径端点)之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这段弧长叫做两点的球面距离.这样定义球面距离的理论依据是什么？有什么合理性，与平面上两点距离定义有何联系?以下予以证明.

一、引理：当，证明：不等式sinx

图1

二、球面距离的证明过程：

不妨将原问题转化到平面内解决，即将经过球面上两点A、B的大圆和任意一个小圆绕弦AB旋转到一个平面内，则只需证明弦AB所对的大圆的劣弧长小于弦AB所对的小圆的劣弧长，就可以说明球面上两点间距离定义的根据.如图1，令圆O上两点A,B(非大圆直径端点)，且|AB|=2a>0，大圆半径为R,∠AOB=2θ；令圆M为经过A、B两点的任意一个小圆，半径为r，∠AMB=2φ，则如图只需证明小圆M中弦AB所对劣弧l0大于大圆O中弦AB所对的弧长l.

图2

综上可知，经过球面两点的所有弧长中，大圆在该两点之间的劣弧长是最短的，于是定义为两点之间的球面距离.

三、球面距离定义的合理性

图3

所以，当过AB两点的圆的半径x越来越大时，即AB之间的圆弧长越来越小，圆弧也越来越接近线段AB；当x→+∞时，即极限状态下，球面转化为平面，圆弧转化为线段AB,两点的球面距离转化为两点的平面距离.因此，球面距离的定义根源于两点平面距离的定义，则球面距离定义具有合理性.

一点启示：极限思想是高等数学中处理数学问题的重要思想方法.比如导数概念中，函数在点A处的导数是割线AB的斜率在Δx→0的极限，即当函数图像上动点B无限逼近定点A时，割线AB的斜率不断进行量的无穷积累与压缩，从而达到了质的极限状态，不妨认为是数学元素的形态发生了变化.再如；定积分定义推导中，当无限分割时，所有小矩形的面积和的极限就是曲边梯形的面积，即矩形和积累到无限时，其面积和状态发生了改变.从上述对球面距离定义的说明中，我们能体会到极限状态下，数学元素形态的转变.其实，我国古代数学中“割圆术”早就孕育了“以直代曲”极限思想的萌芽，折射出古人智慧的光芒.因而，在我们解决和处理数学及其他学科领域内的问题时，也不妨将问题推广到极限状态下去尝试，或许能够得到崭新的结论，或许也能达到柳暗花明的境地.

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