构造函数巧证不等式——从一道中科大夏令营试题谈起

湖北省武汉市钢城第十六中学　(430080)

郑　玲

广东省珠海市实验中学　　　　(519090)

王恒亮



构造函数巧证不等式
——从一道中科大夏令营试题谈起

湖北省武汉市钢城第十六中学(430080)

郑玲

广东省珠海市实验中学(519090)

王恒亮

问题(2013年中科大数学夏令营试题)

该问题的证明方法很多，上述证明是通过构造函数f(x)=3x-x-1来证明不等式，应该说是很多方法中较为简单的一种证法，通过合理构造函数，然后讨论函数的最值来得出相关不等式给我们带来好的效果！事实上，这种构造函数来证明不等式的方法在近几年国内外各级各类数学竞赛中多有出现，下面略举几例与读者分享.

例1(2009年清华大学自主招生试题)

注：结合待证式构造函数，从而分析函数的最值，使得本题的证明简洁明了!

例3(2010年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题)设x，y，z∈R+，x2+y2+z2=3，求证：

注1：本题的证明方法较多，但通过拆分构造，讨论单一函数的凸凹性，并结合几何性质得到我们所需要的不等式，综合后再运用柯西不等式即证得结果.这种先分后合再构造求证的方法效果好，但对思维的灵活性要求较高，需要平时学习时不断地积累.

注2：若y=f(x)在区间，D上为凸函数，则由几何意义可知f(x)≥f(x0)+f(x0)(x-x0)，这点在解决凸凹函数时很有意义，这也为我们证明与函数相关的不等式指明了方向！

图1

注3：对上述证明过程的直观几何解释：

由图可知，若y=f(x)在区间D上可导，x0∈D，对任意的x∈D，则

(1)若f(x)为D上的凹函数(图1)，则f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0).

图2

(2)若f(x)为D上的凸函数(图2)，则f(x)≥f′(x0)+f(x0)(x-x0).

例4(第31届IMO试题预选题)

类似于上述例3、4、5的方法，请读者自行完成如下问题：

问题1(第二届世界友谊杯数学竞赛试题)

问题2(2005年塞尔维亚数学奥林匹克试题)