琴生不等式的类别与运用

浙江省宁波市北仑明港中学　(315806)

甘大旺



琴生不等式的类别与运用

浙江省宁波市北仑明港中学(315806)

甘大旺

琴生(Jensen，1859 ～ 1925)在丹麦的纳克斯考出生，跟随做地产经理的父亲在瑞典度过大部分童年时光，17岁考进瑞典的哥本哈根科技学院，没有拿到大学文凭就跟随父母返回了丹麦，随后自学数学，22岁至65岁在电话公司从事技术工作，是一位成功的电讯工程师.琴生利用业余时间钻研数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”.

若f(x)在D内下凹上凸(即对于任意x∈D都有二阶导数f″(x)<0)且连续，则就把上面的“≤”替换成“≥”.

琴生不等式的加权形式：若f(x)在区间D内是上凹下凸的连续函数，则对任意的n(≥2)个实数x1、x2、…、xn∈D，及μ1、μ2、…、μn∈R+(其中μ1+μ2+…+μn=1)，则恒有不等式f(μ1x1+μ2x2+…+μnxn) ≤μ1f(x1)+μ2f(x2)+…+μnf(xn)(其中“≤”当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”)；

若f(x)在D内是下凹上凸的连续函数，则就把上面的“≤”替换成“≥”.

下面例谈琴生不等式的简洁运用，并说明琴生不等式的几何意义，使读者能够乐于选用并且还善于运用琴生不等式.

(A)q=rp

(C)p=rq

图1

于是，函数f(x)区间(0，s)内是上凹下凸的函数，则运用琴生不等式得

例3(2011年湖北高考压轴题)设bk(k=1，2，…，n)均为正数，若b1+b2+…+bn=1，证明：

综合(1)、(2)得，原连接不等式正确.

补注：①此题是2005年全国高考压轴题的改编题；②这里两次构造的函数，都是用分析法所牵引出来的，这优于命题组提供的引理铺垫式的证法；③这里两次运用到琴生不等式，其第一次几何意义涉及凹凸函数图像的内接凸边形的加权重心，第二次几何意义类似于例2，请读者画出两个示意图.

为了既尽量节省篇幅又要展现琴生不等式的实用价值，下面列举用琴生不等式所能简洁解决的4道题目及提示，把解答过程留给读者完成.

提示：由琴生不等式和淘汰法，推测二阶导数f″(x)=0，构造f(x)=2x-1，填2047.

3.(2012年湖北高考末尾题改编题)给出一个命题：“设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2”.将上述命题推广到一般形式，并加以证明.

提示：推广命题为——“若a1、a2、…、an(其中n≥2)为非负实数，b1、b2、…、bn为正有理数，且b1+b2+…+bn=1，n≥2，则a1b1anbn…anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn”.证法类似于例3.

4.(1)在△ABC中，求证：

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1；

(2) (第20届伊朗奥数题)已知正数x、y、z满足x2+y2+z2+xyz=4，证明：x+y+z≤3.

[1]何先俊，罗伟.曲线凹凸性在高考选择题中的应用[J].中学数学月刊，2014(9)：61-63.

[2]甘大旺.高考数学150专题[M].湖北教育出版社，2015：297-298.