巧用对称性求证“零点”不等式

江西省南昌市湾里一中　(330004)

罗世评



巧用对称性求证“零点”不等式

江西省南昌市湾里一中(330004)

罗世评

近年来，不论在各省市调研卷中，还是在高考中都出现了函数与导数的综合题.而这类问题中常常出现求证零点不等式恒成立的问题，可这类题型常用消参法求解使得求解过程往往比较繁琐，致使很多学生在这类问题中很困惑.笔者经过认真思考巧用函数性质中的“对称性”给出了一种相对比较简单易懂的解法.在本文中将这种方法称为“对称法”，以期对考生有所帮助.

例1(2015年南昌市高三调研测试21题)已知f(x)=x-aex(a∈R，e为自然对数的底).

(1) 讨论函数f(x)的单调性；

(2) 若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

(3) 若函数f(x)有两个不同的零点，求证：x1+x2>2.

第(1)(2)较易在此不做研究，以下是第(3)问的解析：

评注：本题第(3)问主要考查函数、导数、不等式恒成立等知识.平时大家常用消参来解答，但使用该方法过程中的消参、换元、求导及运算过程都比较繁琐，给学生的学习带来极大的困难.然而利用对称法来求解，却巧妙利用数形结合的思想简化了消参的运算过程.同时根据函数g(x)在x∈(1，+∞)上为单调递减函数的性质达到有效求证零点不等式的目的.

例2函数f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.

(1)讨论函数的单调区间；

(2)若函数y=f(x)的图像与x轴交于不同两点A，B，线段AB中点的横坐标为x0，求证：f′(x0)<0.