一类具有部分周期性质的函数试题探究

2016-08-26福建省泉州市第七中学362000

中学数学研究(江西) 2016年8期

关键词：泉州市本题福建省

福建省泉州市第七中学　(362000)

吴宝树

福建省泉州市第五中学　(362000)

杨苍洲

一类具有部分周期性质的函数试题探究

福建省泉州市第七中学(362000)

吴宝树

福建省泉州市第五中学(362000)

杨苍洲

2014年9月4日，国务院颁布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确提出要深化高考考试内容改革，2015年起增加使用全国统一命题试卷的省份.2014年，使用全国统一命题试卷的省份包括：河南,河北,山西,贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,宁夏,内蒙古,新疆,云南,辽宁,广西等15个省(区).教育部经和有关省份协商以后，决定2015年增加江西,辽宁和山东3个省，2016年增加湖北,广东,陕西,四川,重庆,福建和安徽7个省.随着加入全国统一命题试卷的省份逐渐增多，各地掀起了対全国卷的研究高潮，而各地的质检卷无疑是这一研究成果的很好的体现.在各地的质检卷中总能发现一些精彩的试题，対这些试题加以研究和推广，对于更好地复习迎接全国卷的高考将起到很大的帮助.本文将就福建省泉州市2016年的一道市质检题展开探究.

1.试题呈现

若定义在R上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x-x2，当2k≤x<2k+2(k∈N*)时，f(x)=2f(x-2)，则函数F(x)=lnx-f(x)在区间(0，6)内的零点个数为_________ .

图1

解析:本题作为填空压轴题，有一定的难度，思维跳跃大，学生完成起来较为困难.由当0≤x<2时，f(x)=2x-x2和当2k≤x<2k+2(k∈N*)时，f(x)=2f(x-2)，可得当2k≤x<2k+2时，0≤x-2k<2，此时f(x)=2k(2(x-2k)-(x-2k)2)，据此画出y=lnx的图像和函数f(x)在(0，16)内的部分图像如图1，观察可得，除在第一个区间(0，2)上只有一个交点外，在其他区间上各有两个交点，因此函数F(x)=lnx-f(x)在区间(0，16)内的零点个数为15.

2.课本溯源

《普通高中课程标准试验教科书数学必修4》在《1.4.2正弦函数、余弦函数的性质》一节中，対周期函数给出了如下定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.即当点(x0，y0)在函数的图像上时，点(x0+T，y0)也在函数的图像上.

理解和掌握周期性质对于解决本题有很大的帮助，本题的难点在于准确把握f(x)=2f(x-2)这一条件，其实质是由f(x)=2f(x-2)作周期变换的同时，函数y在轴方向上进行伸缩变换，从而可得当(x0，y0)在函数的图像上时，点(x0+2，2y0)也在函数的图像上，即横坐标每向右平移两个单位，纵坐标伸长为原来的两倍.此时横坐标具有周期变换的特点，而纵坐标同时又有伸缩变换，使得周期性不严格，我们不妨将这一性质称为部分周期性.

3.性质推广

一般地，我们可以得到以下几种类型的具有部分周期性的函数：

(2)若函数f(x)满足f(x)=f(x+m)+n，当点(x0，y0)在函数的图像上时，点(x0+m，y0-n)也在函数的图像上.

4.链接高考

高考试题中，出现了很多基于部分周期性命制的精彩试题，以下列举一二.

(2010年高考福建卷)已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)=2-x.

给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函数f(x)的值域为[0，+∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是 “存在k∈Z，使得(a，b)⊆(2k，2k+1)”.

其中所有正确结论的序号是_________.

图2

由解析式和图像可知，当x≥2时，f(2n)=0(n∈Z)，因此①正确；函数的值域为[0，+∞)，②正确；因为2n+1∈(2n，2n+1]，而在区间(2n，2n+1]上f(x)的解析式为f(x)=2n+1-x，则2n+1-2n-1=9，即2n=10，显然不存在这样的整数n，因此③错误；当x∈(2n，2n+1]且n∈Z时，函数单调递减，所以④正确.故正确答案为①②④.

(2013年高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时.f(x)=x(1-x)，则当-1≤x≤0时，f(x)=_________.

限于篇幅，本题解析略，答案为f(x)=