执“数”造“林” 拔雾见日——圆锥曲线中一类定量问题的教学案例

江苏省建湖高级中学　(224700)

刘友明



执“数”造“林”拔雾见日
——圆锥曲线中一类定量问题的教学案例

江苏省建湖高级中学(224700)

刘友明

一、背景分析

纵观全国各省近几年的高考数学试卷，其中圆锥曲线被考察的部分分值约占25分左右，其重要地位不言而喻．圆锥曲线中蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神，思想方法，个性品质及发明创造的思维线索和心理历程，然而在现实的教学中，很大一部分老师和学生并没有领会其中的精髓，疲于应付，教学低效，学生得分“惨不忍睹” ．教师们往往侧重于将几何问题代数化，试图以训练计算为手段，靠大量的题海来提高代数运算技巧，急功近利，忽视了对代数结果背后的几何本质的研究.显然，这样的教学是无趣的，不利于调动学生的积极性，同时学生的创造力和勇于探索的精神得不到培养．学习兴趣初浓渐淡，终因难生厌．

二、案例描述

2015年常州市高三一模数学试卷第18题，同时也是内江市2015届高三第四次模拟考试理科第20题，第(2)问是一道典型的探索型问题，可以先由对称性知直线l2必为与x轴垂直的一条直线，再由特殊位置：当AB⊥x轴时，确定l2:x=4.然后通过分析法转化为求证kPD=kBD,进而得证(证略).但此题的价值远不止于此，如果仅仅满足于此类技巧：利用对称性，特殊性，转化的思想，并不是一个完美的结局．因为这也仅仅是解决了这个问题，而对这一类的问题，你解决了吗？触动学生的那根心弦你找到了吗？其实对于此类问题的延伸也很简单：你只要问学生问题中的数据是怎么来的？是偶然还是必然？是否有一般情形？当然这需要教师本人在课前做大量的准备，不然就会出现两市联考试题原封不动的被选用，而作为高三后期的考试，这样的情况理应是杜绝发生的．

师：同学们能否将之推广到一般情形呢？

师：同学们真是太棒了！能够善于将具体数据转化为a,b,c的关系．当然，同学们，还可以再猜想，那究竟是哪个呢？

生：我们可以一一验证！

师: 那么多怎么验证？可行但可惜很难操作！有无更好的办法呢？

. . . . . .

师：那么同学们能否将我们猜想的成果仿照原题陈述出来呢？

师：下面请同学们给出证明(仿照原题证明方法即可)．

由②易证①成立.

师：非常好！一个大胆的猜想就在同学们的协同配合下得到了验证．同学们能否再换个角度深入挖掘一下呢？(可以提示从充要性角度思考)

师：如何证明呢？

生：仿照原结论的证法先由对称性知，如果存在，必在x轴上，再由垂直的特殊情况得出点D, 再证kPD=kBD，可得直线BP恒过定点D.(证略)

师：真棒！作为这类定量问题，请同学们总结一下目前可以有哪几种研究方案？

生：一方面，可以将具体的数猜想成关于a,b,c的表达式，从而得出一般性结论；另一方面，可以从充要性角度逆向考虑问题.

师：同学们还有其他方面的思考吗？(提示：刚才我们仅仅研究了椭圆方面的应用及推广)

生：还可以考虑推广到双曲线中！

生：抛物线中也可以！

师：好！请同学们一起尝试一下吧！…

师：非常完美！那么在抛物线中会有相应的两个结论吗？

师：你真是太棒啦！老师请同学们看一道题，你们会有何发现呢？

(2001·全国理19)设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

生：就是我们研究出的结论2.

师：对的，同学们你们都会出高考题了！由此可见，只要我们善于动脑筋，高考试题就在我们手边！当然从年份来看，可以看出高考试题的研究价值．可以断言，出题者的思路就是从研究该高考试题得到的．为此老师留下2014年福建理科高考第19题供同学们课后思考，请同学们遵循今天我们研究问题的方法作深入的推广吧！老师期待你们研究的成果！

(1)求双曲线E的离心率；

图1

点评：考虑到时间问题，此题留到了课后，这样同学们会有更多的时间来进行小组研究．长此以往，学生的学习兴趣必然会得到充分的调动，而且学生思维的宽度和广度都会得到质的飞跃．

事实上，课后有不少同学纷纷来找我，兴奋不已地告诉我“老师我有研究成果了！”通过交流，绝大多数同学都会将面积8猜想出与a,b的关系：S△AOB=ab．同学们研究成果概括如下：

点评：结论1是结论2的特殊情况，对于结论2的发现还是非常出乎我意料之外的，学生告诉我他发现双曲线的渐近线是不变的，也就是离心率相同，所以才这样思考的．还有很多同学想将之推广到椭圆，抛物线中，但均无所收获．

三、案例反思

在整个过程中我们要注意以下几点:

1.学生运算能力的培养固然重要，但单纯以训练学生运算技巧为目的，看不到数字背后的价值：情感，意志力，信心以及创新能力的培养，这样急功近利的教学显然是低效的.我们要开放思想，敢于放手，突破传统，让学生大胆猜想，自主参与研究，其效果必然是你意想不到的．事实证明，如此进行下去，学生的运算能力不仅没有得到削弱，反而得到了更大的提高.

2.圆锥曲线这类定量问题的教学中要教会学生执“数”造“林”的研究策略：①由具体到一般；②正反两面(充要性)；③类比推广.

3.要善于拨动学生的那根“兴奋弦”，同时让每一位学生都要有发言的机会，这样才是真实的课堂，才有生命力.“学困生”是我们课堂最好的调料，没有他们这一道菜就没有味.要勇于让学生犯错误，我们要树立这样一个理念：课堂的生命力就在于有矛盾冲突，有冲突才会有精彩的高潮.

圆锥曲线内容在高中数学课程中承担着提升学生数学思想，数学文化素养的功能.由于传统的教学只注重数的计算而忽视了学生的意志情感，创新品质的培养，从而弊端百出.这就要求教师，特别是工作在一线的高三教师深刻的认识到：由于学生长期疲于应付这部分内容，已无兴趣可言，而这部分内容恰恰是后期同学们得分的一个大的增长点.因为学生们往往会处于能做但做不对，会做而做不下去的尴尬境地，学生们缺少的是一种克服困难的勇气和信心以及创新精神. 圆锥曲线这类定量问题的教学中教师只需利用：由数到形，从特殊到一般，正反两面，类比推广的探究式教学策略，就会抓住学生的心弦，激起学生的学习热情，让学生感受到数学的美妙与神奇，其效果自然是水到渠成，花开飘香，硕果累累.